Modul 5: Numerical Formulation — Discrete Model

Ringkasan

Modul ini membahas pendekatan “diskrit” untuk menurunkan persamaan numerik reservoir simulation. Berbeda dengan pendekatan kontinu (Modul 4) yang menurunkan persamaan dari PDE lewat Taylor series, di sini persamaan langsung disusun dari mass balance (material balance) pada tiap grid block. Prinsip dasarnya sederhana: laju aliran fluida yang masuk-keluar suatu blok harus sama dengan laju perubahan (akumulasi) fluida di blok itu. Dari prinsip ini muncul dua besaran penting yang menjembatani blok-blok yang bertetangga, yaitu transmissibility (faktor geometri dan batuan) dan mobility (faktor fluida). Keduanya digabung menjadi satu koefisien antar-blok yang menyusun persamaan mass balance minyak, air, dan gas: persamaan inilah yang nantinya diselesaikan secara numerik.

Signifikansi

Pendekatan diskrit adalah cara yang benar-benar digunakan dalam praktik reservoir simulation sehari-hari: jauh lebih umum dibanding pendekatan kontinu yang lebih abstrak dan jarang digunakan langsung di simulator komersial. Dengan berpikir per grid block (bukan per titik matematis pada PDE), konsep-konsep seperti transmissibility dan mobility menjadi lebih intuitif karena langsung berhubungan dengan hal fisik: seberapa mudah fluida mengalir dari satu blok ke blok tetangganya.

Modul ini juga menjadi jembatan langsung menuju metode solusi numerik yang dibahas di modul berikutnya. Bentuk akhir persamaan mass balance minyak, air, dan gas yang diturunkan di sini adalah titik awal metode IMPES: jadi memahami dari mana koefisien-koefisien itu berasal akan sangat membantu saat mempelajari bagaimana persamaan tersebut diselesaikan.

Konsep Kunci

• Pendekatan kontinu vs diskrit: pendekatan kontinu menurunkan persamaan numerik dari PDE lewat Taylor series; pendekatan diskrit langsung menulis mass balance pada tiap grid block tanpa melalui PDE. Pendekatan diskrit inilah yang umum digunakan di simulator praktis.
• Mass balance (material balance) (prinsip dasar) laju aliran bersih yang masuk ke suatu blok (scf/hari) sama dengan laju akumulasi fluida di blok itu (scf/hari).
• Pore volume grid block ($V_p$): volume ruang kosong dalam satu blok tempat fluida dapat mengisi, dihitung dari ukuran blok ($\Delta x \cdot \Delta y \cdot h$) dikali porositas.
• Transmissibility ($T$): besaran yang mewakili “kemudahan geometri” aliran antar dua blok, dihitung dari permeabilitas, luas penampang, dan jarak antar blok ($T = kA/L$).
• Mobility ($M$ atau $\lambda$): besaran yang mewakili “kemudahan fluida mengalir”, dihitung dari relative permeability dibagi viskositas dan formation volume factor ($k_r/(\mu B)$).
• Koefisien antar-blok ($\alpha$): hasil kali transmissibility dan mobility, koefisien inilah yang muncul di setiap suku aliran dalam persamaan mass balance.

Pembahasan

Dua Pendekatan Penurunan Persamaan

Dalam reservoir simulation ada dua cara untuk sampai ke persamaan numerik yang digunakan simulator. Cara pertama (pendekatan kontinu) dimulai dari partial differential equation (PDE) yang menggambarkan aliran fluida di reservoir, lalu didiskritisasi menggunakan Taylor series sehingga turunan-turunan kontinu berubah menjadi selisih antar titik grid. Cara kedua (yang menjadi fokus modul ini) justru tidak pernah menuliskan PDE sama sekali. Mass balance langsung ditulis untuk setiap grid block, seolah-olah setiap blok adalah “wadah” kecil yang memiliki aliran masuk, aliran keluar, dan perubahan isi.

Dalam praktik industri, pendekatan diskrit inilah yang lebih umum digunakan karena lebih mudah dihubungkan langsung dengan geometri grid dan sifat fisik batuan/fluida, tanpa harus melalui aljabar turunan parsial yang lebih abstrak.

Prinsip Mass Balance per Grid Block

Titik awal seluruh penurunan adalah continuity equation (mass balance) yang berbunyi: laju aliran bersih yang masuk ke suatu blok sama dengan laju akumulasi di blok tersebut. Untuk model 1-D yang homogen, pore volume tiap grid block dihitung dari dimensi bloknya ($V_p = \Delta x \cdot \Delta y \cdot h$), dan laju akumulasi selama satu langkah waktu $\Delta t$ dihitung dari perubahan jumlah fluida yang tersimpan di pore volume tersebut antara waktu sekarang dan waktu sebelumnya.

Aliran masuk ke suatu blok berasal dari dua tetangga di kiri dan kanan (untuk kasus 1-D): “net rate of flow in” adalah jumlah aliran dari blok kiri ($q_{left}$) dan blok kanan ($q_{right}$). Aliran dari blok $i+1$ ke blok $i$ inilah yang kemudian diformulasikan menggunakan dua besaran kunci: transmissibility dan mobility.

Transmissibility: Faktor Geometri dan Batuan

Transmissibility ($T$) merepresentasikan kapasitas geometris aliran fluida antardua blok dan dirumuskan sebagai $T = \dfrac{kA}{L}$, dengan $k$ sebagai permeabilitas batuan, $A$ sebagai luas penampang antarmuka blok, dan $L$ sebagai jarak antarpusat blok. Nilai transmissibility meningkat dengan bertambahnya permeabilitas dan luas penampang serta berkurangnya jarak antarpusat blok.

Mobility: Faktor Sifat Fluida

Sementara transmissibility murni soal geometri dan batuan, mobility (dilambangkan $M$ atau $\lambda$) mewakili seberapa mudah fluida itu sendiri mengalir, dirumuskan sebagai $k_r/(\mu B)$: relative permeability dibagi viskositas dan formation volume factor. Mobility ini dievaluasi di batas antar blok (dilambangkan dengan notasi setengah, misalnya $i+1/2$ untuk batas antara blok $i$ dan $i+1$).

Transmissibility dan mobility kemudian dikalikan menjadi satu koefisien antar-blok (di slide disimbolkan $\alpha$, kombinasi dari ”$T$ kali $M$”). Koefisien gabungan inilah yang benar-benar muncul di setiap suku aliran pada persamaan mass balance: jadi tidak perlu menulis $T$ dan $M$ terpisah setiap kali, cukup satu koefisien yang sudah mewakili keduanya.

Menyusun Persamaan Mass Balance Minyak, Air, dan Gas

Dengan koefisien antar-blok tadi, mass balance untuk fase minyak dituliskan sebagai: jumlah aliran dari blok-blok tetangga (dikalikan koefisien $\alpha$ dan tekanan pada waktu $n+1$) harus sama dengan laju perubahan volume minyak tersimpan ($V_p \cdot S_o/B_o$) antara waktu $n+1$ dan waktu $n$, dibagi $\Delta t$:

$\sum \alpha \, p^{n+1} = \frac{1}{\Delta t}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n+1} - \left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n}\right]$

Bentuk yang sama juga berlaku untuk fase air dan gas, masing-masing dengan $S_w/B_w$ dan $S_g/B_g$ sebagai gantinya.

Persamaan-persamaan inilah (satu untuk tiap fase, di tiap grid block) yang menjadi dasar seluruh metode solusi numerik reservoir simulation, termasuk metode IMPES yang dibahas di modul berikutnya.

Perluasan dari 1-D ke 2-D dan 3-D

Konsep yang sama berlaku untuk model 2-D dan 3-D, hanya saja jumlah tetangga yang menyumbang aliran bertambah. Pada 1-D hanya ada dua tetangga (kiri-kanan), pada 2-D ditambah dua tetangga lagi (depan-belakang), dan pada 3-D ditambah dua tetangga lagi (atas-bawah). Struktur persamaannya tetap sama (jumlah suku aliran dari semua tetangga sama dengan suku akumulasi) hanya jumlah suku yang dijumlahkan yang bertambah sesuai dimensi.

Kesimpulan Utama

• Pendekatan diskrit menyusun persamaan numerik langsung dari mass balance per grid block, tanpa melalui PDE dan Taylor series.
• Prinsip dasarnya: laju aliran bersih yang masuk ke suatu blok = laju akumulasi fluida di blok tersebut.
• Pore volume grid block ($V_p$) dihitung dari dimensi blok dan menjadi dasar suku akumulasi.
• Transmissibility ($T = kA/L$) mewakili faktor geometri dan batuan pada aliran antar blok.
• Mobility ($k_r/(\mu B)$) mewakili faktor sifat fluida pada aliran antar blok.
• Transmissibility dan mobility digabung menjadi satu koefisien antar-blok yang digunakan di persamaan mass balance.
• Persamaan mass balance disusun terpisah untuk minyak, air, dan gas, masing-masing berbentuk sama.
• Perluasan dari 1-D ke 3-D hanya menambah jumlah tetangga yang dijumlahkan, tanpa mengubah struktur dasar persamaan.