Tridiagonal Matrix

Definisi

Tridiagonal matrix adalah matriks koefisien yang hanya memiliki nilai tidak nol pada diagonal utama serta satu baris tepat di atas dan di bawahnya (tiga “pita” diagonal), sementara semua elemen lain bernilai nol.

Pembahasan

Ketika diffusivity equation didiskritisasi untuk kasus aliran satu dimensi (misalnya aliran linear sepanjang sumbu x), setiap grid block hanya berhubungan langsung dengan dua tetangganya (kiri dan kanan), sehingga sistem persamaan linear yang dihasilkan secara alami berbentuk tridiagonal. Struktur khusus ini memungkinkan penyelesaian sistem persamaan lewat algoritma Thomas (variasi eliminasi Gauss yang disederhanakan), yang jauh lebih cepat (kompleksitas komputasi $O(n)$) dibanding menyelesaikan matriks penuh secara umum (kompleksitas $O(n^3)$).

Untuk kasus dua atau tiga dimensi, matriks yang dihasilkan tidak lagi murni tridiagonal (setiap grid block berhubungan dengan 4 atau 6 tetangga), tetapi tetap “jarang” (sparse, sebagian besar elemen nol), sehingga metode penyelesaian khusus untuk matriks jarang tetap jauh lebih efisien dibanding metode matriks penuh.

Signifikansi

Sifat tridiagonal (atau lebih umum, sparse) dari sistem persamaan hasil diskritisasi reservoir adalah alasan utama mengapa simulator reservoir modern dapat menangani model dengan jutaan grid block secara efisien, karena algoritma penyelesaian khusus (bukan matriks penuh) dapat digunakan.