Proof of the Diffusivity Equation Using Normalized Pressure (pₚ)

Soal

Modul 2 (Mathematical Model) menutup pembahasannya dengan bentuk umum persamaan aliran minyak yang sudah memuat formation volume factor $B_o$:

$\nabla\cdot\left[\frac{k}{\mu B_o}\nabla p\right] = \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\phi}{B_o}\right]$

lalu memperkenalkan sebuah variabel normalized pressure $p_p$ tanpa menuntaskan pembuktiannya: itulah yang menjadi soal homework ini:

Buktikan bahwa dengan mendefinisikan variabel $p_p$ secara tepat, persamaan aliran minyak di atas dapat disederhanakan menjadi bentuk diffusivity equation standar:

$\nabla^2 p_p = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial p_p}{\partial t}$

Yang Diketahui dan Asumsi

• Reservoir homogen dan isotropik, sehingga permeabilitas $k$ dianggap konstan terhadap posisi maupun tekanan.
• Fluida berupa minyak satu fase (di atas tekanan bubble point), dengan viskositas $\mu(p)$ dan formation volume factor $B_o(p)$ yang keduanya boleh berubah terhadap tekanan.
• Compressibility minyak didefinisikan sebagai $c_o = -\dfrac{1}{B_o}\dfrac{dB_o}{dp}$, dan compressibility batuan sebagai $c_f = \dfrac{1}{\phi}\dfrac{d\phi}{dp}$, dengan compressibility total $c_t = c_o + c_f$.
• Semua besaran ($\mu$, $B_o$, $\phi$, $c_t$) dievaluasi secara lokal di titik dan waktu yang sama dengan $p(x,y,z,t)$.

Langkah Pembuktian

Langkah 1: Definisikan variabel normalized pressure.

Sama seperti pendekatan pseudopressure $m(p)$ pada gas nyata (lihat Modul 2), didefinisikan sebuah variabel baru $p_p$ lewat integral berikut, agar suku $k/(\mu B_o)$ yang nonlinear “diserap” ke dalam definisi variabel itu sendiri:

$p_p(p) \equiv \int_{p_b}^{p} \frac{dp'}{\mu(p')\,B_o(p')}$

dengan $p_b$ sebagai tekanan referensi (misalnya tekanan bubble point). Konsekuensi langsung dari definisi ini (lewat Teorema Dasar Kalkulus) adalah turunannya terhadap $p$:

$\frac{dp_p}{dp} = \frac{1}{\mu(p)\,B_o(p)}$

Langkah 2: Sederhanakan ruas kiri (suku aliran).

Dengan aturan rantai, gradien $p_p$ berkaitan dengan gradien $p$ melalui:

$\nabla p_p = \frac{dp_p}{dp}\nabla p = \frac{1}{\mu B_o}\nabla p$

Karena $k$ konstan, ia dapat dikeluarkan dari operator divergence (sifat linearitas), sehingga ruas kiri persamaan asal menjadi:

$\nabla\cdot\left[\frac{k}{\mu B_o}\nabla p\right] = \nabla\cdot\left[k\,\nabla p_p\right] = k\,\nabla^2 p_p$

Langkah 3: Sederhanakan ruas kanan (suku akumulasi) dengan aturan rantai.

Ruas kanan diturunkan dulu terhadap $p$, baru dikalikan $\partial p/\partial t$ (aturan rantai):

$\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\phi}{B_o}\right] = \frac{d}{dp}\left(\frac{\phi}{B_o}\right)\frac{\partial p}{\partial t}$

Turunan $\dfrac{d}{dp}\left(\dfrac{\phi}{B_o}\right)$ diuraikan dengan aturan hasil kali (product rule):

$\frac{d}{dp}\left(\frac{\phi}{B_o}\right) = \frac{1}{B_o}\frac{d\phi}{dp} + \phi\left(-\frac{1}{B_o^2}\frac{dB_o}{dp}\right) = \frac{\phi}{B_o}\underbrace{\left(\frac{1}{\phi}\frac{d\phi}{dp}\right)}_{c_f} + \frac{\phi}{B_o}\underbrace{\left(-\frac{1}{B_o}\frac{dB_o}{dp}\right)}_{c_o} = \frac{\phi}{B_o}\left(c_f + c_o\right) = \frac{\phi\,c_t}{B_o}$

Persis di sinilah definisi compressibility total $c_t = c_o + c_f$ muncul secara alami dari penurunan, bukan diasumsikan begitu saja. Sehingga ruas kanan menjadi:

$\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\phi}{B_o}\right] = \frac{\phi\,c_t}{B_o}\frac{\partial p}{\partial t}$

Langkah 4: Ganti $\partial p/\partial t$ dengan $\partial p_p/\partial t$.

Dari hasil Langkah 1, berlaku juga hubungan sebaliknya (aturan rantai lagi, kali ini menurunkan $p_p$ terhadap $t$):

$\frac{\partial p_p}{\partial t} = \frac{dp_p}{dp}\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{\mu B_o}\frac{\partial p}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial p}{\partial t} = \mu B_o\,\frac{\partial p_p}{\partial t}$

Substitusikan ini ke hasil Langkah 3:

$\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\phi}{B_o}\right] = \frac{\phi\,c_t}{B_o}\times \mu B_o\,\frac{\partial p_p}{\partial t} = \phi\mu c_t\,\frac{\partial p_p}{\partial t}$

Perhatikan bahwa suku $B_o$ pada pembilang dan penyebut saling meniadakan: inilah alasan definisi $p_p$ di Langkah 1 dipilih persis seperti itu.

Langkah 5: Gabungkan kedua ruas.

Menyamakan hasil Langkah 2 dan Langkah 4 (karena keduanya berasal dari ruas kiri dan ruas kanan persamaan yang sama):

$k\,\nabla^2 p_p = \phi\mu c_t\,\frac{\partial p_p}{\partial t}$

Membagi kedua ruas dengan $k$, terbukti:

$\boxed{\nabla^2 p_p = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial p_p}{\partial t}} \qquad \blacksquare$

Kesimpulan

Dengan mendefinisikan normalized pressure $p_p = \displaystyle\int_{p_b}^{p} \dfrac{dp'}{\mu(p')B_o(p')}$, persamaan aliran minyak yang semula memuat suku $k/(\mu B_o)$ yang berubah-ubah terhadap tekanan dapat ditulis ulang menjadi bentuk diffusivity equation standar $\nabla^2 p_p = (\phi\mu c_t/k)\,\partial p_p/\partial t$: sama persis bentuknya dengan diffusivity equation cairan sederhana di Modul 2, hanya dengan $p$ diganti $p_p$.

Mengapa Pembuktian Ini Penting?

• Ini adalah pola yang sama dengan pendekatan pseudopressure gas $m(p)$ di Modul 2: mendefinisikan variabel baru lewat sebuah integral agar bentuk persamaannya kembali menyerupai diffusivity equation standar yang sudah dikenal solusi analitiknya (1D, 2D, radial).
• Perlu digarisbawahi (sama seperti $m(p)$ pada gas, persamaan hasil akhir untuk $p_p$ belum tentu benar-benar linear) koefisien $\phi\mu c_t/k$ di ruas kanan masih dapat berubah terhadap tekanan (lewat $\mu(p)$ dan $c_t(p)$). Pendekatan ini hanya membuat bentuk persamaannya kembali seperti diffusivity equation standar, sehingga metode dan analytical solution yang sudah ada dapat digunakan kembali sebagai pendekatan (terutama jika $\mu B_o$ tidak berubah drastis terhadap tekanan).
• Konsep ini juga persis yang mendasari paper Diffusivity Equation for Real Liquids with Gas in Solution pada review PR Nomor 1: di sana, densitas minyak (bukan $B_o$ secara langsung) yang dijadikan variabel utama untuk menangani ketidak-idealan fluida, dengan semangat penurunan yang sama.