Modul 2: Mathematical Models

Ringkasan

Modul ini membangun fondasi matematika yang digunakan di seluruh reservoir simulation: diffusivity equation, yaitu persamaan diferensial yang menggambarkan bagaimana tekanan menyebar di dalam reservoir seiring waktu. Persamaan ini diturunkan dengan menggabungkan tiga hal: hukum kekekalan massa (continuity equation), Darcy’s law (yang menghubungkan laju alir fluida dengan gradien tekanan), dan persamaan keadaan fluida/batuan (yang menghubungkan densitas dan porositas dengan tekanan). Modul ini juga membahas alat bantu matematika yang digunakan sepanjang penurunan (notasi vector, del operator, aturan rantai, linearitas), cara mengklasifikasikan partial differential equation (PDE), serta kasus khusus untuk gas nyata yang memerlukan pendekatan “pseudopressure” karena sifat gas yang tidak linear terhadap tekanan.

Signifikansi

Diffusivity equation merupakan landasan matematis utama bagi simulator reservoir, baik untuk aliran satu fase maupun aliran tiga fase dengan puluhan ribu grid block. Numerical method yang dibahas pada modul-modul berikutnya, termasuk discretization, finite difference, dan penyelesaian sistem matriks, pada prinsipnya digunakan untuk memperoleh pendekatan solusi diffusivity equation ketika analytical solution tidak tersedia bagi reservoir heterogen.

Pemahaman terhadap proses penurunan persamaan memungkinkan identifikasi asumsi yang mendasarinya, seperti kondisi isotermal, Darcy flow, dan slightly compressible fluid. Dengan demikian, batas validitas setiap asumsi dapat dievaluasi sebelum persamaan diterapkan pada kondisi lapangan.

Konsep Kunci

• Vector: besaran yang memuat beberapa nilai sekaligus, misalnya kecepatan aliran fluida yang memiliki komponen ke arah x, y, dan z.
• Del operator ($\nabla$) (operator matematika yang, jika dikenakan pada besaran skalar (seperti tekanan), menghasilkan gradien) sebuah vector yang menunjukkan arah dan besar perubahan tercepat dari besaran itu.
• Divergence ($\nabla\cdot$): operator yang dikenakan pada sebuah vector dan menghasilkan besaran skalar; secara fisis menggambarkan seberapa besar “penyebaran keluar” aliran pada suatu titik.
• Aturan rantai (chain rule): cara menurunkan fungsi yang bergantung pada variabel lain yang juga berubah, digunakan berulang kali karena tekanan bergantung pada posisi/waktu, dan densitas/porositas bergantung pada tekanan.
• Linearitas operator: sifat operator yang membolehkan konstanta dikeluarkan dan penjumlahan dipecah, sangat berguna untuk menyederhanakan persamaan saat komponen seperti $k/\mu$ dianggap konstan.
• Continuity equation (pernyataan matematis dari hukum kekekalan massa) massa fluida yang masuk-keluar suatu elemen volume harus sama dengan perubahan massa yang tersimpan di dalamnya.
• Darcy’s Law: hubungan empiris (ditemukan Henry Darcy tahun 1856) yang menyatakan laju alir fluida dalam media berpori sebanding dengan gradien tekanan dan berbanding terbalik dengan viskositas fluida.
• Compressibility ($c$, $c_f$): ukuran seberapa besar volume fluida atau batuan berubah akibat perubahan tekanan.
• Diffusivity equation: partial differential equation hasil gabungan kontinuitas, Darcy, dan compressibility, yang menggambarkan penyebaran tekanan di reservoir terhadap ruang dan waktu.
• Pseudopressure, $m(p)$: variabel bantu yang didefinisikan khusus untuk gas nyata, digunakan untuk “meluruskan” (melinearkan) diffusivity equation gas yang aslinya tidak linear.
• PDE orde dua & diskriminan ($b^2 - 4ac$): cara mengelompokkan partial differential equation orde dua menjadi tipe eliptik, parabolik, atau hiperbolik berdasarkan nilai diskriminannya.

Pembahasan

Notasi Matematika: Vector dan Del Operator

Sebelum masuk ke penurunan persamaan, modul ini memperkenalkan “bahasa” yang akan digunakan terus-menerus: notasi vector. Sebuah vector $\vec{u}$ dalam ruang 3 dimensi dituliskan sebagai kumpulan tiga komponen $(u_1, u_2, u_3)$: misalnya komponen kecepatan aliran ke arah x, y, dan z.

Operator del ($\nabla$) adalah operator yang, jika dikenakan pada sebuah skalar (misalnya tekanan $p$), menghasilkan gradien:

$\nabla p = \begin{bmatrix}\partial p/\partial x \\ \partial p/\partial y \\ \partial p/\partial z\end{bmatrix}$

Secara fisis, gradien tekanan ini menunjukkan ke arah mana dan seberapa cepat tekanan berubah di suatu titik: dan arah inilah yang nantinya “mendorong” fluida mengalir.

Operasi aljabar yang penting adalah perkalian dalam (inner product), dituliskan $\underline{u}\cdot\underline{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$, yang hasilnya berupa skalar. Sedangkan divergence dari sebuah vector, $\nabla\cdot\underline{u} = \partial u_1/\partial x + \partial u_2/\partial y + \partial u_3/\partial z$, juga menghasilkan skalar: dan secara fisis menggambarkan apakah di suatu titik terjadi “sumber” (fluida menyebar keluar) atau “tenggelam” (fluida berkumpul masuk).

Dua Aturan Penting: Aturan Rantai dan Linearitas

Penurunan diffusivity equation melibatkan sejumlah besaran yang saling bergantung. Sebagai contoh, densitas fluida $\rho$ merupakan fungsi tekanan $p$, sedangkan tekanan merupakan fungsi posisi dan waktu, $p(x,y,z,t)$. Diferensiasi hubungan tersebut terhadap salah satu variabel, misalnya $x$, memerlukan penerapan chain rule:

$\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{d\rho}{dp}\frac{\partial p}{\partial x}$

Aturan kedua yang penting adalah linearitas suatu operator $L$, yaitu sifat $L(c_1 u_1) = c_1 L(u_1)$ dan $L(u_1+u_2) = L(u_1)+L(u_2)$. Sifat ini yang nantinya membenarkan langkah “mengeluarkan” konstanta seperti $k/\mu$ dari dalam del operator saat menurunkan persamaan aliran.

Menurunkan Diffusivity Equation untuk Cairan

Inilah bagian inti modul ini: menurunkan diffusivity equation untuk fluida cair (liquid) dari tiga persamaan dasar.

Pertama, continuity equation (kekekalan massa):

$\nabla\cdot(\rho\vec{u}) = -\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t}$

Artinya: laju massa fluida yang “menyebar keluar” dari suatu titik sama dengan laju berkurangnya massa fluida yang tersimpan di ruang pori ($\phi$ adalah porositas).

Kedua, Darcy’s law, yang menyatakan kecepatan alir fluida $\vec{u}$ sebanding dengan gradien tekanan dan berbanding terbalik dengan viskositas $\mu$:

$\vec{u} = -\frac{k}{\mu}\nabla p$

Tanda negatif berarti fluida mengalir dari tekanan tinggi ke tekanan rendah: searah dengan penurunan tekanan.

Ketiga, persamaan keadaan yang menghubungkan compressibility fluida dan batuan dengan tekanan:

$c = -\frac{1}{V}\frac{dV}{dp} = \frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dp} \qquad c_f = \frac{1}{\phi}\frac{d\phi}{dp}$

Dengan mensubstitusikan Darcy’s law ke dalam continuity equation, lalu memanfaatkan sifat linearitas untuk mengeluarkan konstanta $k/\mu$, dan menerapkan aturan rantai pada suku densitas dan porositas, seluruh suku-suku tersebut akhirnya disederhanakan menjadi satu bentuk akhir yang elegan: diffusivity equation untuk cairan:

$\nabla^2 p = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial p}{\partial t}$

di mana $c_t = c + c_f$ adalah compressibility total (fluida ditambah batuan), dan $\nabla^2 p$ (disebut Laplacian dari p) adalah jumlah turunan kedua tekanan terhadap ketiga arah ruang. Secara fisis, persamaan ini menyatakan bahwa kelengkungan profil tekanan di ruang (ruas kiri) berbanding lurus dengan kecepatan perubahan tekanan terhadap waktu (ruas kanan): semakin besar $\phi$, $\mu$, atau $c_t$, semakin lambat tekanan “menyebar” ke seluruh reservoir, sementara semakin besar permeabilitas $k$, semakin cepat penyebarannya.

Linearitas Persamaan dan Analytical Solution

Modul ini kemudian mengajukan pertanyaan penting: apakah persamaan akhir ini adalah PDE (partial differential equation) yang linear? Jika iya, maka analytical solution dapat dicari. Tiga bentuk analytical solution disebutkan sebagai contoh, tergantung geometri alirannya:

• 1D linear: $\dfrac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \dfrac{\phi\mu c_t}{k}\dfrac{\partial p}{\partial t}$
• 2D Cartesian: $\dfrac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 p}{\partial y^2} = \dfrac{\phi\mu c_t}{k}\dfrac{\partial p}{\partial t}$
• Geometri radial (misalnya aliran menuju sumur): $\dfrac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial p}{\partial r} = \dfrac{\phi\mu c_t}{k}\dfrac{\partial p}{\partial t}$

Bentuk radial ini penting karena aliran fluida menuju sumur pada dasarnya memang berbentuk radial (mengarah ke satu titik pusat), sehingga banyak analytical solution uji tekanan sumur (well testing) dibangun dari bentuk persamaan ini.

Kasus Gas: Nonlinearitas dan Transformasi Pseudopressure

Untuk fluida gas, penurunan yang sama dilakukan, tetapi dengan mengganti persamaan keadaan menggunakan hukum gas nyata:

$\rho = \frac{pM}{zRT}$

di mana $z$ adalah faktor compressibility gas yang nilainya berubah-ubah tergantung tekanan. Setelah disubstitusikan ke continuity equation dan Darcy’s law, hasilnya adalah:

$\nabla\cdot\left(k\frac{p}{z\mu}\nabla p\right) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi\frac{p}{z}\right)$

Persamaan ini tidak linear, karena $z$ dan $\mu$ sama-sama bergantung pada $p$: berbeda dengan kasus cairan di mana $k/\mu$ dapat dianggap konstan. Untuk mengatasi ini, digunakan sebuah “pendekatan matematika”: mendefinisikan variabel baru yang disebut pseudopressure,

$m(p) = 2\int_{p_0}^{p} \frac{p'}{z(p')\mu(p')}\,dp'$

Dengan mensubstitusikan variabel $m(p)$ ini ke dalam persamaan gas tadi (memanfaatkan aturan rantai sekali lagi), persamaan nonlinear tersebut akhirnya dapat disederhanakan menjadi bentuk yang identik dengan diffusivity equation cairan, hanya dengan $p$ diganti $m$:

$\nabla^2 m = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial m}{\partial t}$

Darcy’s Law Sebagai Fondasi Semua Persamaan Aliran

Modul ini menegaskan bahwa setiap persamaan aliran di reservoir, baik untuk minyak, gas, maupun air, selalu berakar dari Darcy’s law yang ditemukan Henry Darcy pada tahun 1856:

$v = \frac{q}{A} = -\frac{k}{\mu}\frac{dp}{dx}$

Hukum ini pada dasarnya adalah hasil observasi empiris (laju alir per satuan luas ($v$) sebanding dengan gradien tekanan, dan sifat media (permeabilitas $k$) serta sifat fluida (viskositas $\mu$) menentukan seberapa mudah aliran itu terjadi) semakin kental fluidanya, semakin sulit mengalir untuk gradien tekanan yang sama.

Klasifikasi Partial Differential Equation (PDE)

Karena diffusivity equation adalah PDE orde dua, penting untuk tahu cara mengklasifikasikannya. Bentuk umum PDE orde dua dua variabel adalah:

$a\,u_{xx} + b\,u_{xy} + c\,u_{yy} = H(x,y,u,u_x,u_y)$

Jenisnya ditentukan oleh nilai diskriminan $b^2 - 4ac$:

Diskriminan	Tipe	Contoh
< 0	Eliptik	Persamaan Laplace ($u_{xx}+u_{yy}=0$), Persamaan Poisson (kondisi tunak/pseudo-steady state)
= 0	Parabolik	Persamaan Fourier / kondisi transien ($u_{xx}=u_t$)
> 0	Hiperbolik	$u_{xx} - u_{yy} = 0$

Diffusivity equation yang telah diturunkan tersebut termasuk persamaan parabolik karena merepresentasikan kondisi transien, yaitu perubahan tekanan terhadap waktu sebelum mencapai kondisi tunak. Memahami klasifikasi ini penting karena tiap tipe PDE memerlukan pendekatan numerik dan syarat batas yang berbeda saat diselesaikan di modul-modul selanjutnya.

Bentuk Umum Persamaan Aliran dengan Formation Volume Factor

Sebagai penutup, modul ini menuliskan bentuk umum diffusivity equation yang sudah memasukkan formation volume factor ($B_o$ untuk minyak, $B_g$ untuk gas): bentuk yang lebih dekat dengan yang benar-benar digunakan dalam simulator komersial:

$\nabla\cdot\left[\frac{k_o}{\mu_o B_o}\nabla p\right] = \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\phi}{B_o}\right] \quad \text{(minyak)}$

$\nabla\cdot\left[\frac{k_g}{\mu_g B_g}\nabla p\right] = \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\phi}{B_g}\right] \quad \text{(gas)}$

Modul juga memperkenalkan variabel normalisasi tekanan tambahan ($p_p$) yang didefinisikan dengan cara serupa seperti pseudopressure gas, untuk menangani perubahan sifat fluida terhadap tekanan secara lebih umum: pembuktian penuhnya diberikan sebagai latihan (homework) di akhir modul.

Kesimpulan Utama

• Diffusivity equation diturunkan dari tiga bahan dasar: continuity equation (kekekalan massa), Darcy’s law (kecepatan sebanding gradien tekanan, berbanding terbalik dengan viskositas), dan persamaan keadaan (compressibility fluida dan batuan).
• Bentuk akhir untuk cairan ($\nabla^2 p = \dfrac{\phi\mu c_t}{k}\dfrac{\partial p}{\partial t}$) kelengkungan tekanan di ruang berbanding lurus dengan laju perubahan tekanan terhadap waktu.
• Alat bantu matematika yang wajib dikuasai: notasi vector, del operator/gradien, divergence, aturan rantai, dan sifat linearitas operator.
• Untuk cairan, diffusivity equation bersifat linear sehingga memiliki analytical solution untuk geometri 1-D, 2-D Cartesian, dan radial.
• Untuk gas nyata, persamaannya nonlinear karena faktor compressibility gas ($z$) dan viskositas berubah terhadap tekanan; solusinya adalah mendefinisikan variabel pseudopressure $m(p)$ agar persamaannya kembali berbentuk linear.
• Darcy’s Law (1856) adalah fondasi dari semua persamaan aliran fluida di reservoir, baik untuk minyak, gas, maupun air.
• PDE orde dua diklasifikasikan menjadi eliptik, parabolik, atau hiperbolik berdasarkan nilai diskriminan $b^2-4ac$; diffusivity equation termasuk tipe parabolik (transien).
• Bentuk umum persamaan aliran yang digunakan dalam praktik menyertakan formation volume factor ($B_o$, $B_g$) untuk minyak dan gas.