Modul 2: Mathematical Models

Halaman judul modul ini menandai peralihan penting: dari Modul 1 yang membahas gambaran besar reservoir simulation, ke jantung matematisnya. Modul ini menurunkan diffusivity equation, persamaan yang menjadi dasar seluruh simulator reservoir yang ada di dunia.

Halaman pembatas ini menandai dimulainya bagian pertama modul: bekal matematika yang akan digunakan sepanjang penurunan diffusivity equation. Sebelum menurunkan satu rumus pun, notasi vector, del operator, aturan rantai, dan sifat linearitas perlu dikuasai lebih dulu, karena semuanya akan digunakan berulang-ulang di halaman-halaman berikutnya.

Halaman ini memperkenalkan dua notasi dasar. Pertama, notasi vector: sebuah vector adalah satu simbol yang menyimpan beberapa nilai sekaligus, paling umum dalam ruang tiga dimensi:

$\text{vector } u = \vec{u} = \underline{u} = \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}$

Kedua, notasi del ($\nabla$), atau gradien dari sebuah skalar: sebuah skalar (seperti tekanan $p$) dapat memiliki gradien yang membentuk vector:

$\nabla p = \begin{bmatrix}\partial p/\partial x\\\partial p/\partial y\\\partial p/\partial z\end{bmatrix}$

Gradien ini adalah vector yang menunjuk ke arah tekanan naik paling cepat. Halaman berikutnya memperkenalkan operasi aljabar yang menggunakan kedua notasi ini.

Halaman ini memperkenalkan dua operasi aljabar. Pertama, perkalian dalam (inner product), dituliskan $\underline{u}\cdot\underline{v} = (\underline{u},\underline{v})$:

$(\underline{u},\underline{v}) = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$

Hasil dari perkalian dalam ini adalah sebuah skalar. Kedua, del operator digunakan untuk menyatakan divergence dari sebuah vector:

$\text{divergence of } \underline{u} = \nabla\cdot\underline{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z}$

Divergence suatu vector juga menghasilkan besaran skalar. Operasi tersebut dapat dipandang sebagai inner product dengan salah satu vector digantikan oleh operator diferensial $(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z)$.

Halaman ini menuliskan aturan rantai dalam tiga bentuk, dari yang paling umum sampai yang akan langsung digunakan:

Bentuk umum, jika $w=f(u_1,u_2,\dots,u_m)$ dan $u=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$: $\frac{\partial w}{\partial x_i} = \frac{\partial w}{\partial u_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_i} + \frac{\partial w}{\partial u_2}\frac{\partial u_2}{\partial x_i} + \dots + \frac{\partial w}{\partial u_m}\frac{\partial u_m}{\partial x_i}$

Jika $\rho=f(p,T)$ dan $p=f(x,y,z,t)$: $\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{\partial \rho}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial \rho}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial x}$

Dan bentuk yang akan langsung digunakan, jika $\rho=f(p)$ saja (kondisi isotermal) dan $p=f(x,y,z,t)$: $\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{d\rho}{dp}\frac{\partial p}{\partial x}$

Bentuk terakhir inilah yang akan digunakan berulang kali di penurunan diffusivity equation, karena densitas fluida dianggap hanya bergantung pada tekanan.

Halaman ini menuliskan sifat linearitas sebuah operator $L$ dalam tiga bentuk:

$L(c_1u_1) = c_1L(u_1)$

$L(u_1+u_2) = L(u_1) + L(u_2)$

$L(c_1u_1+c_2u_2) = c_1L(u_1) + c_2L(u_2)$

Baris pertama dan kedua adalah dua syarat dasar operator linear (konstanta boleh dikeluarkan, operator boleh dikenakan suku demi suku). Baris ketiga menggabungkan keduanya sekaligus. Sifat inilah yang nanti membenarkan langkah “mengeluarkan” $k/\mu$ dari dalam del operator saat menurunkan diffusivity equation di halaman berikutnya.

Halaman ini membuka bagian inti modul: menurunkan diffusivity equation untuk cairan (liquid). Di bagian atas halaman langsung ditunjukkan bentuk akhirnya sebagai pratinjau:

$\nabla^2 p = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial p}{\partial t}$

Lalu didaftar empat bahan yang akan digabungkan untuk sampai ke bentuk itu:

• Continuity Equation: $\nabla\cdot\rho\vec{u} = -\dfrac{\partial(\phi\rho)}{\partial t}$
• Darcy’s Law: $\vec{u} = -\dfrac{k}{\mu}\nabla p$
• Equation of State: $\rho = f(p)$
• Untuk kondisi isotermal (fluida): $c = -\dfrac{1}{V}\dfrac{dV}{dp} = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{d\rho}{dp}$
• Untuk batuan: $c_f = \dfrac{1}{\phi}\dfrac{d\phi}{dp}$

Halaman berikutnya benar-benar menggabungkan keempat bahan ini langkah demi langkah untuk mencapai bentuk akhir yang sudah dipratinjaukan di atas.

Halaman ini benar-benar memulai penggabungan bahan-bahan dari halaman sebelumnya, langkah demi langkah:

Langkah 1: substitusikan Darcy’s Law ke Continuity equation. $\nabla\cdot\rho\left(-\frac{k}{\mu}\nabla p\right) = -\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t}$

Langkah 2: menggunakan sifat linearitas untuk mengeluarkan konstanta $(k/\mu)$: $\nabla\cdot\rho\nabla p = \frac{\mu}{k}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t}$

Langkah 3: menggunakan del operator untuk menurunkan ruas kiri: $\rho\nabla\cdot\nabla p + (\nabla\rho)\cdot(\nabla p) = \frac{\mu}{k}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t} \implies \rho\nabla^2 p + (\nabla\rho)\cdot(\nabla p) = \frac{\mu}{k}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t}$

Langkah 4: gradien densitas, menggunakan aturan rantai dari halaman kelima: $\nabla\rho = \frac{d\rho}{dp}\nabla p = c\rho\nabla p$

Keempat langkah ini disatukan di halaman berikutnya untuk mencapai bentuk akhir.

Halaman ini menyelesaikan penurunan dari halaman sebelumnya. Menggabungkan keempat langkah tadi:

$\rho\nabla^2 p + c\rho(\nabla p)\cdot(\nabla p) = \frac{\mu}{k}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t}$

Suku kedua di ruas kiri, $c\rho(\nabla p)\cdot(\nabla p)$, dicoret (ditandai garis merah pada slide asli): suku ini berorde dua dalam gradien tekanan, jauh lebih kecil dibanding suku-suku lain untuk kondisi aliran reservoir yang wajar, sehingga diabaikan. Tersisa:

$\nabla^2 p = \frac{\mu}{k}\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t} = \frac{\mu}{k}\frac{1}{\rho}\left(\phi\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)$

Menerapkan aturan rantai pada $\partial\rho/\partial t$ dan $\partial\phi/\partial t$, lalu mensubstitusikan definisi $c$ dan $c_f$ dari halaman ketujuh:

$= \frac{\mu}{k}\frac{1}{\rho}\left[\phi(c\rho)\frac{\partial p}{\partial t} + \rho(c_f\phi)\frac{\partial p}{\partial t}\right] = \frac{\phi\mu}{k}\left[c+c_f\right]\frac{\partial p}{\partial t}$

Dengan $c_t=c+c_f$, inilah bentuk akhir (Laplacian of p) yang sudah dipratinjaukan dua halaman lalu:

$\boxed{\nabla^2 p = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial p}{\partial t}}$

Halaman ini adalah selingan tugas baca (“PR”, singkatan pekerjaan rumah), bukan bagian dari penurunan rumus. Dua paper SPE ditugaskan untuk direview:

• Diffusivity Equation for real liquids with gas in solution (SPE 23740)
• A variable rate solution to the nonlinear diffusivity Gas Equation (SPE 145468)

Kedua paper ini langsung berkaitan dengan diffusivity equation cairan yang baru saja diturunkan di halaman ketujuh sampai kesembilan, namun memperluasnya untuk kasus yang lebih realistis: cairan nyata dengan gas terlarut (SPE 23740), dan solusi untuk gas dengan laju alir yang berubah-ubah (SPE 145468). Kedua review paper ini dapat dibaca lengkap di halaman Paper SPE pada situs ini.

Halaman ini mengajukan pertanyaan penting: “Is the final equation a linear P.D.E?” — apakah persamaan akhir dari halaman kesembilan adalah PDE yang linear? Jika iya, analytical solution dapat dicari. Tiga bentuk diberikan sebagai contoh:

1D Linear: $\dfrac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \dfrac{\phi\mu c_t}{k}\dfrac{\partial p}{\partial t}$

2D Cartesian: $\dfrac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 p}{\partial y^2} = \dfrac{\phi\mu c_t}{k}\dfrac{\partial p}{\partial t}$

Radial geometry: $\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r\dfrac{\partial p}{\partial r}\right) = \dfrac{\phi\mu c_t}{k}\dfrac{\partial p}{\partial t}$, yang setara dengan $\dfrac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial p}{\partial r} = \dfrac{\phi\mu c_t}{k}\dfrac{\partial p}{\partial t}$

Bentuk radial ini penting karena aliran fluida menuju sumur pada dasarnya memang berbentuk radial, sehingga banyak analytical solution uji tekanan sumur dibangun dari bentuk persamaan ini.

Halaman ini mengulangi penurunan yang sama, namun kali ini untuk gas nyata. Tiga bahan yang sama digunakan:

• Continuity equation: $\nabla\cdot\rho\vec{u} = -\dfrac{\partial}{\partial t}(\phi\rho)$
• Darcy’s Law: $\vec{u} = -\dfrac{k}{\mu}\nabla p$
• Gas density: $\rho = \dfrac{pM}{zRT}$

Mensubstitusikan ketiganya:

$\nabla\cdot\frac{pM}{zRT}\left(-\frac{k}{\mu}\nabla p\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\phi\frac{pM}{zRT}\right) \implies \nabla\cdot k\frac{p}{z\mu}\nabla p = \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi\frac{p}{z}\right)$

Lalu ditegaskan: “The equation is not linear: z, μ depend on p” — persamaan ini tidak linear, karena $z$ dan $\mu$ bergantung pada $p$. Sebagai solusi, variabel baru $m(p)$ langsung didefinisikan di bagian bawah halaman ini:

$m(p) = \int_{p_0}^{p}\frac{2p'}{z(p')\mu(p')}\,dp' \longrightarrow m(p) = 2\int_{p_0}^{p}\frac{p}{z\mu}\,dp$

Halaman berikutnya menggunakan variabel $m(p)$ ini untuk melinearkan kembali persamaan gas.

Halaman ini menyelesaikan pendekatan yang dimulai di halaman sebelumnya. Turunan $m$ terhadap variabel apa pun ($\xi$):

$\frac{dm}{d\xi} = \frac{2p}{z\mu}\frac{dp}{d\xi} \qquad\text{dan}\qquad \nabla m = \frac{2p}{z\mu}\nabla p$

Persamaan gas dari halaman sebelumnya, $\nabla\cdot\dfrac{2p}{z\mu}\nabla p = \dfrac{2}{k}\dfrac{\partial}{\partial t}\!\left(\phi\dfrac{p}{z}\right)$, dengan substitusi $\nabla m$ di atas menjadi:

$\nabla\cdot\nabla m = \frac{2}{k}\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\phi\frac{p}{z}\right) \implies \nabla^2 m = \frac{2}{k}\left[\phi\frac{d}{dp}\!\left(\frac{p}{z}\right)+\frac{p}{z}\frac{d\phi}{dp}\right]\frac{\partial p}{\partial t}$

Mengalikan dan membagi dengan $2p/z\mu$ (agar ruas kanan dapat ditulis ulang menggunakan $\partial m/\partial t$), lalu menyederhanakan:

$= \frac{2}{k}\frac{\phi\mu}{2}\left[\frac{z}{p}\frac{d}{dp}\!\left(\frac{p}{z}\right)+\frac{1}{\phi}\frac{d\phi}{dp}\right]\frac{\partial m}{\partial t} = \frac{2}{k}\frac{\phi\mu}{2}(c+c_f)\frac{\partial m}{\partial t}$

Hasil akhirnya persis sama bentuknya dengan diffusivity equation cairan, hanya $p$ diganti $m$:

$\boxed{\nabla^2 m = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial m}{\partial t}}$

Halaman ini menegaskan satu benang merah penting: “Every flow equation has a Darcy eq..” — setiap persamaan aliran, apa pun bentuk akhirnya, selalu berakar dari hukum yang sama. Hukum ini pada dasarnya adalah hasil observasi: “fluid flow rate is proportion to pressure gradient and not to fluid viscosity” — laju alir fluida sebanding dengan gradien tekanan, bukan dengan viskositas fluida secara langsung.

$v = \frac{q}{A} = -\frac{k}{\mu}\frac{dp}{dx}$

Hukum ini ditemukan oleh insinyur Prancis Henry Darcy pada tahun 1856. Semua persamaan yang sudah diturunkan di halaman-halaman sebelumnya, baik untuk cairan (halaman 7-9) maupun gas (halaman 12-13), sama-sama berakar dari Darcy’s law ini sebagai bahan dasarnya.

Halaman ini mengklasifikasikan PDE orde dua. Bentuk umumnya:

$a\,u_{xx} + b\,u_{xy} + c\,u_{yy} = H(x,y,u,u_x,u_y)$

Jenisnya ditentukan oleh nilai diskriminan, $b^2-4ac$:

Diffusivity equation yang diturunkan di halaman-halaman sebelumnya termasuk parabolic, karena menggambarkan kondisi transien: tekanan yang terus berubah terhadap waktu. Klasifikasi ini penting karena tiap tipe PDE memerlukan pendekatan numerik dan syarat batas yang berbeda.

Halaman ini menuliskan bentuk umum diffusivity equation yang sudah memasukkan formation volume factor ($B_o$, $B_g$), bentuk yang lebih dekat dengan yang benar-benar digunakan di simulator komersial:

Untuk Liquid: $\nabla\cdot\!\left[\dfrac{k_o}{\mu_o B_o}\nabla p\right] = \dfrac{\partial}{\partial t}\!\left[\dfrac{\phi}{B_o}\right]$

Untuk Gas: $\nabla\cdot\!\left[\dfrac{k_g}{\mu_g B_g}\nabla p\right] = \dfrac{\partial}{\partial t}\!\left[\dfrac{\phi}{B_g}\right]$

Halaman ini juga menjabarkan operator Laplacian $\nabla^2 p = \nabla\cdot\nabla p$ secara explicit untuk dua geometri:

Linear Flow: $\nabla^2 p = \dfrac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 p}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 p}{\partial z^2}$

Radial Flow: $\nabla^2 p = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r\dfrac{\partial p}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 p}{\partial \theta^2}+\dfrac{\partial^2 p}{\partial z^2}$

Bentuk radial ini adalah versi lengkap (3 dimensi: $r$, $\theta$, $z$) dari bentuk radial sederhana yang sudah dibahas di halaman kesebelas.

Melanjutkan bentuk umum dengan formation volume factor dari halaman sebelumnya, halaman ini mendefinisikan sebuah variabel normalisasi tekanan baru, $p_p$, dengan semangat yang sama seperti pseudopressure gas $m(p)$ di halaman 12-13:

$p_p = \left[\frac{\mu B}{k}\right]_n \int_{p_{base}}^{p}\frac{k}{\mu B}\,dp$

Dengan aturan rantai, gradiennya:

$\nabla p_p = \frac{\partial p_p}{\partial p}\nabla p \implies \frac{\partial p_p}{\partial p} = \left[\frac{\mu B}{k}\right]_n \frac{k}{\mu B}$

Menerapkan aturan rantai untuk suku waktu:

$\frac{\partial p_p}{\partial t} = \frac{\partial p_p}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial t}$

$\frac{\partial}{\partial t}\!\left[\frac{\phi}{B}\right] = \frac{\partial}{\partial p}\!\left[\frac{\phi}{B}\right]\frac{\partial p}{\partial t} \implies \frac{\partial}{\partial t}\!\left[\frac{\phi}{B}\right] = \frac{\phi}{B}\left[\frac{1}{\phi}\frac{\partial\phi}{\partial p} - \frac{1}{B}\frac{\partial B}{\partial p}\right]\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\phi c_t}{B}\frac{\partial p}{\partial t}$

Semua bahan sudah siap untuk halaman terakhir: latihan (homework) yang meminta pembuktian penuh bahwa $p_p$ ini membuat persamaan dengan $B_o$ kembali berbentuk difusivitas standar.

Halaman penutup modul ini adalah sebuah tugas (homework): buktikan bahwa variabel normalisasi tekanan $p_p$ yang baru saja didefinisikan di halaman sebelumnya benar-benar membuat persamaan aliran (yang tadinya memuat $B_o$/$B_g$ dan tidak berbentuk difusivitas standar) kembali menjadi diffusivity equation klasik, persis seperti pendekatan pseudopressure $m(p)$ untuk gas di halaman 12-13.

Proof:

$\boxed{\nabla^2 p_p = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial p_p}{\partial t}}$

Cara membuktikannya mengikuti pola yang identik dengan pendekatan pseudopressure gas: substitusikan definisi $p_p$ dan hasil aturan rantai dari halaman sebelumnya ke dalam persamaan umum $\nabla\cdot\!\left[\dfrac{k}{\mu B}\nabla p\right] = \dfrac{\partial}{\partial t}\!\left[\dfrac{\phi}{B}\right]$, lalu sederhanakan kedua ruas sampai bentuknya menjadi Laplacian $p_p$ di ruas kiri dan $\partial p_p/\partial t$ di ruas kanan. Ini menutup seluruh alur modul: dari notasi vector dasar, aturan rantai, linearitas, hingga dua pendekatan normalisasi (pseudopressure gas dan variabel $p_p$) yang sama-sama mengembalikan persamaan aliran fluida real ke bentuk difusivitas linear yang paling mudah dianalisis.