Diffusivity Equation

Definisi

Diffusivity equation adalah partial differential equation yang menggambarkan bagaimana tekanan menyebar di dalam reservoir terhadap ruang dan waktu, diturunkan dengan menggabungkan continuity equation (kekekalan massa), Darcy’s Law, dan compressibility fluida/batuan. Bentuk akhirnya untuk slightly compressible liquid adalah $\nabla^2 p = \frac{\phi\mu c_t}{k}\frac{\partial p}{\partial t}$.

Pembahasan

Ruas kiri ($\nabla^2 p$, disebut Laplacian dari $p$) mewakili “kelengkungan” profil tekanan di ruang, sedangkan ruas kanan mewakili laju perubahan tekanan terhadap waktu. Semakin besar porositas ($\phi$), viskositas ($\mu$), atau compressibility total ($c_t$), semakin lambat tekanan menyebar; semakin besar permeabilitas ($k$), semakin cepat penyebarannya — analogi klasiknya adalah setetes tinta yang menyebar di dalam gelas air, tetapi di sini yang menyebar adalah tekanan.

Diffusivity equation termasuk PDE (partial differential equation) tipe parabolik, karena menggambarkan kondisi transien (tekanan terus berubah terhadap waktu sebelum akhirnya mencapai kondisi tunak). Untuk slightly compressible fluid, persamaan ini linear dan memiliki analytical solution untuk geometri sederhana (1D linear, 2D Cartesian, radial). Untuk gas nyata, persamaannya menjadi nonlinear karena viskositas dan faktor Z gas berubah terhadap tekanan, sehingga diperlukan pendekatan pseudo-pressure agar bentuknya kembali menyerupai persamaan cairan yang linear.

Signifikansi

Diffusivity equation adalah jantung dari semua simulator reservoir yang ada — baik simulator sederhana satu fase, maupun simulator komersial rumit untuk aliran tiga fase dengan puluhan ribu grid block. Semua numerical method (finite difference, IMPES, fully implicit) pada dasarnya adalah cara menyelesaikan persamaan ini secara pendekatan.