Crank-Nicolson

Definisi

Crank-Nicolson adalah skema finite difference untuk diskritisasi waktu yang mengevaluasi suku aliran sebagai rata-rata antara nilai pada waktu lama dan waktu baru, alih-alih murni menggunakan satu waktu saja seperti skema explicit (murni waktu lama) atau fully implicit (murni waktu baru).

Pembahasan

Secara matematis, skema Crank-Nicolson dapat dianggap sebagai gabungan setengah explicit dan setengah implicit: $\frac{p^{n+1}-p^n}{\Delta t} = \frac{1}{2}\left(F(p^{n+1}) + F(p^n)\right)$, di mana $F$ mewakili suku aliran. Pendekatan rata-rata ini memberi orde akurasi $O(\Delta t^2)$ terhadap waktu — lebih baik dibanding skema backward (fully implicit) atau forward (explicit) murni yang hanya berorde $O(\Delta t)$ — sambil tetap mempertahankan kestabilan numerik yang baik untuk langkah waktu yang relatif besar.

Karena melibatkan nilai pada waktu baru ($p^{n+1}$) di kedua sisi persamaan, skema ini tetap memerlukan penyelesaian sistem persamaan simultan (biasanya lewat iterasi seperti Gauss-Seidel), mirip seperti skema fully implicit, hanya dengan koefisien yang sedikit berbeda.

Signifikansi

Crank-Nicolson menawarkan keseimbangan yang baik antara akurasi dan stabilitas, menjadikannya pilihan populer di berbagai aplikasi numerik teknik reservoir yang membutuhkan akurasi temporal lebih tinggi dibanding skema implicit murni.