Derivation of Darcy's Law for Linear Incompressible Flow

Soal

Pahami arti rumus fisik berikut dan jelaskan bagaimana penurunannya hingga mendapat rumus:

$q = \frac{kA(p_1-p_2)}{\mu L}$

(Linear Flow of Incompressible Fluids: Horizontal Flow)

Arti Fisik Rumus

Rumus ini adalah bentuk terintegrasi Darcy’s Law untuk kasus aliran linear satu dimensi, horizontal, tunak (steady-state), fluida incompressible, pada media berpori homogen. Setiap variabel memiliki arti fisik berikut:

• $q$ = laju alir volumetrik fluida (bbl/hari): banyaknya fluida yang melewati suatu penampang per satuan waktu; konstan di sepanjang lintasan karena fluida tidak termampatkan dan alirannya tunak (tidak ada akumulasi massa).
• $k$ = permeabilitas absolut media berpori (md): ukuran kemampuan batuan meloloskan fluida, ditentukan oleh geometri pori, tidak bergantung pada jenis fluida.
• $A$ = luas penampang tegak lurus arah aliran (ft²), diasumsikan seragam sepanjang lintasan.
• $p_1, p_2$ = tekanan di titik hulu ($x=0$) dan titik hilir ($x=L$); beda tekanan $(p_1-p_2)$ adalah gaya dorong (driving force) yang menggerakkan fluida.
• $\mu$ = viskositas fluida (cp): ukuran hambatan internal fluida terhadap aliran; semakin kental fluida, semakin kecil laju alir untuk beda tekanan yang sama.
• $L$ = panjang lintasan aliran (ft).

Secara fisis, laju alir berbanding lurus dengan kemudahan media ($k$), luas penampang ($A$), dan beda tekanan pendorong ($p_1-p_2$), serta berbanding terbalik dengan hambatan fluida ($\mu$) dan jarak tempuh ($L$).

Langkah Penurunan

Langkah 1: Mulai dari Darcy’s Law bentuk diferensial.

Kecepatan superfisial (laju alir per satuan luas) sebanding dengan gradien tekanan dan berbanding terbalik dengan viskositas:

$v = \frac{q}{A} = -\frac{k}{\mu}\frac{dp}{dx}$

Tanda negatif menunjukkan fluida mengalir dari tekanan tinggi ke tekanan rendah: berlawanan arah dengan gradien tekanan yang naik.

Langkah 2: Terapkan asumsi tunak, incompressible, dan homogen.

Karena aliran tunak (steady-state) dan fluida tidak termampatkan (incompressible), laju alir volumetrik $q$ tidak berubah di sepanjang $x$ (tidak ada sumber, bocoran, atau akumulasi massa). Luas penampang $A$ konstan (bentuk seragam), dan permeabilitas $k$ serta viskositas $\mu$ juga konstan (media homogen, kondisi isotermal). Sehingga $q$, $A$, $k$, dan $\mu$ semuanya dapat diperlakukan sebagai konstanta terhadap $x$.

Langkah 3: Pisahkan variabel (separation of variables).

$\frac{q}{A}\,dx = -\frac{k}{\mu}\,dp$

Langkah 4: Integralkan kedua ruas.

Integralkan dari $x=0$ (di mana $p=p_1$) hingga $x=L$ (di mana $p=p_2$). Karena $q$, $A$, $k$, $\mu$ konstan, semuanya dapat dikeluarkan dari tanda integral:

$\frac{q}{A}\int_0^L dx = -\frac{k}{\mu}\int_{p_1}^{p_2} dp$

Langkah 5: Selesaikan kedua integral.

$\frac{q}{A}\,L = -\frac{k}{\mu}(p_2-p_1) = \frac{k}{\mu}(p_1-p_2)$

Langkah 6: Selesaikan untuk $q$.

$\boxed{q = \frac{kA(p_1-p_2)}{\mu L}} \qquad \blacksquare$

Langkah 7: Konversi ke satuan lapangan (opsional).

Bentuk di atas berlaku dalam sistem satuan Darcy (cgs): $k$ dalam darcy, $A$ dalam cm², $p$ dalam atm, $\mu$ dalam cp, $L$ dalam cm, $q$ dalam cm³/s. Jika dikonversi ke satuan lapangan yang lazim digunakan insinyur perminyakan ($k$ dalam md, $A$ dalam ft², $p$ dalam psia, $\mu$ tetap cp, $L$ dalam ft, $q$ dalam bbl/hari) faktor konversi satuan menghasilkan konstanta $1{,}127\times10^{-3}$:

$q\ (\text{bbl/hari}) = \frac{0{,}001127\,kA(p_1-p_2)}{\mu L}$

Konstanta $0{,}001127$ ini murni berasal dari konversi satuan (md → darcy, ft² → cm², psi → atm, ft → cm, cm³/s → bbl/hari): bukan hasil turunan fisika baru, melainkan penyesuaian praktis supaya insinyur dapat memasukkan angka lapangan langsung tanpa mengonversi manual ke satuan cgs terlebih dahulu.

Kesimpulan

Rumus $q = kA(p_1-p_2)/(\mu L)$ diperoleh dengan mengintegrasikan langsung Darcy’s Law diferensial untuk kasus aliran linear, tunak, satu fase, incompressible, dan media homogen. Penurunannya mengubah hubungan lokal (berlaku di setiap titik $x$) antara kecepatan aliran dan gradien tekanan menjadi hubungan global (berlaku untuk seluruh sistem) antara laju alir total dan beda tekanan total antara titik hulu dan hilir. Rumus ini hanya berlaku selama seluruh asumsi yang mendasarinya (aliran tunak, fluida tidak termampatkan, media homogen, dan geometri linear horizontal) benar-benar terpenuhi; jika salah satu asumsi dilanggar (misalnya aliran radial menuju sumur, atau fluida termampatkan seperti gas), bentuk integrasinya akan berbeda.