Gauss-Seidel

Definisi

Gauss-Seidel adalah metode iteratif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (seperti $B\vec{p}=\vec{\Psi}$), di mana nilai variabel yang baru saja diperbarui langsung digunakan untuk menghitung variabel berikutnya dalam iterasi yang sama, dituliskan dalam bentuk matriks $p^{(k+1)} = (D-L)^{-1}Up^{(k)} + (D-L)^{-1}\Psi$, dengan $D$, $L$, $U$ berturut-turut matriks diagonal, segitiga bawah, dan segitiga atas.

Pembahasan

Berbeda dari metode langsung (seperti eliminasi Gauss) yang menyelesaikan sistem persamaan dalam satu langkah, Gauss-Seidel menebak solusi awal lalu memperbaikinya berulang kali sampai perubahan antar-iterasi cukup kecil (di bawah toleransi tertentu, $\max|p^k_i - p^{k+1}_i| < \delta$). Metode ini terutama berguna ketika koefisien sistem persamaan bergantung pada solusi itu sendiri (persamaan nonlinear, seperti pada persamaan densitas minyak non-ideal), sehingga nilai terbaru yang sudah diperbarui dapat langsung digunakan untuk memperbarui koefisien pada iterasi berikutnya.

Kecepatan konvergensi Gauss-Seidel bergantung pada sifat matriks koefisiennya; untuk matriks yang “dominan diagonal” (seperti yang biasa muncul dari diskritisasi diffusivity equation), metode ini umumnya konvergen dengan cukup cepat.

Signifikansi

Gauss-Seidel adalah salah satu metode iteratif paling sederhana dan banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan yang muncul dari diskritisasi numerik reservoir, terutama saat koefisiennya berubah-ubah (nonlinear) sehingga metode langsung tidak praktis digunakan berulang kali.