Backward Difference

Definisi

Backward difference adalah cara mendekati turunan pertama suatu fungsi menggunakan selisih nilai fungsi di titik yang bersangkutan dengan titik di belakangnya (searah sumbu negatif): $\frac{\partial p}{\partial x} \approx \frac{p_i - p_{i-1}}{\Delta x}$.

Pembahasan

Sama seperti forward difference, skema ini diturunkan dari Taylor series (kali ini untuk $p_{i-1}$ di sekitar $p_i$) dan memiliki orde akurasi $O(\Delta x)$. Backward difference sering digunakan pada titik batas domain di ujung kanan grid, atau dalam skema waktu implicit di mana nilai pada langkah waktu baru dihitung berdasarkan selisih dengan langkah waktu sebelumnya.

Dalam konteks diskritisasi waktu (bukan ruang), backward difference terhadap waktu adalah dasar dari skema fully implicit, di mana suku aliran dievaluasi pada waktu baru sehingga persamaan yang dihasilkan lebih stabil untuk langkah waktu besar.

Signifikansi

Backward difference melengkapi forward difference untuk menangani titik-titik batas domain, dan menjadi dasar konseptual skema waktu implicit yang banyak digunakan simulator reservoir modern karena stabilitasnya.