Modul 5: Numerical Formulation — Discrete Model

Halaman pembuka TM-6011 - Modul 5: Numerical Formulation (Model Diskrit), bagian dari rangkaian Advanced Reservoir Simulation.

Modul 4 sebelumnya menurunkan skema finite difference dari sudut pandang kontinu: memulai dari PDE (diffusivity equation) lalu mendekati turunannya lewat Taylor series. Modul ini menurunkan persamaan diskrit yang sama, tetapi lewat jalan yang sepenuhnya berbeda: pendekatan diskrit (discrete approach), langsung dari mass balance per gridblock — pendekatan yang jauh lebih dekat dengan cara simulator komersial benar-benar dibangun.

Halaman judul bagian: “Finite Difference Equations — A Discrete Approach”.

Ini menandai pergantian sudut pandang dari Modul 4 (yang menurunkan skema beda-hingga secara kontinu, dari PDE via Taylor series) menuju penurunan langsung dari mass balance (material balance) per gridblock, tanpa harus melalui PDE terlebih dahulu.

Halaman ini membandingkan dua filosofi penurunan persamaan aliran:

• Tidak menurunkan persamaan dari PDE lewat Taylor series (pendekatan kontinu) — berbeda dengan Modul 4.
• Pendekatan kontinu tidak lazim digunakan dalam praktik industri.
• Pembahasan selanjutnya menurunkan persamaan melalui grid block dengan mendiskretisasi partial differential equation secara langsung.

Pernyataan ini adalah pembeda kunci antara Modul 4 dan Modul 5: keduanya berujung pada persamaan diskrit yang identik strukturnya, tetapi Modul 5 sampai ke sana lewat mass balance fisik per gridblock, bukan lewat manipulasi matematis Taylor series.

Titik tolak pendekatan diskrit adalah pernyataan mass balance (material balance), dalam bentuk yang sangat sederhana dan intuitif:

Net rate of Flow in (scf/D) = Rate of Accumulation (scf/D)

Artinya: laju alir bersih yang masuk ke sebuah gridblock harus sama dengan laju akumulasi massa fluida di dalam gridblock tersebut. Ini adalah hukum kekekalan massa yang sama persis dengan yang digunakan di Modul 2 (dalam bentuk kontinu, $\nabla\cdot(\ldots) = \partial/\partial t(\ldots)$), hanya sekarang dinyatakan langsung dalam istilah laju alir per gridblock, siap didiskretisasi.

Diambil model 1-D homogen, direpresentasikan sebagai deretan gridblock ($i-1$, $i$, $i+1$, …), masing-masing berukuran $\Delta x \times \Delta y \times h$.

Volume pori tiap gridblock:

$V_p = \Delta x\,\Delta y\,h\,\phi$

Dari volume pori ini, jumlah minyak yang tersimpan di gridblock (OIP — Oil In Place) pada kondisi reservoir dikonversi ke kondisi permukaan lewat formation volume factor $B_o$:

$OIP = \frac{V_p\,S_o}{B_o}$

Kuantitas $V_p S_o / B_o$ inilah yang nantinya menjadi suku akumulasi di ruas kanan persamaan mass balance pada halaman berikutnya.

Laju akumulasi selama satu time step $\Delta t$ dihitung sebagai selisih $OIP$ antara akhir ($n+1$) dan awal ($n$) time step, dibagi $\Delta t$:

$\frac{1}{\Delta t}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n+1} - \left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n}\right]$

Gridblock $i$ menerima aliran dari dua tetangganya: $q_{left}$ (dari kiri) dan $q_{right}$ (dari kanan) — divisualisasikan sebagai panah masuk dari kedua sisi menuju blok $i$.

Net rate of flow in = $q_{left} + q_{right}$

Ruas kiri (aliran masuk neto) inilah yang akan disamakan dengan ruas kanan (laju akumulasi) di atas, menjadi persamaan mass balance lengkap di halaman berikutnya.

Menggabungkan halaman keenam menjadi satu persamaan mass balance lengkap:

$q_{lft} + q_{rht} = \frac{1}{\Delta t}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n+1} - \left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n}\right]$

Aliran dari kanan, dari gridblock $i+1$ menuju gridblock $i$, dinyatakan dalam kecepatan Darcy:

$q_{rht}\,(\text{scf/D}) = \frac{u_{rht}\,A}{B_o}$

atau, setelah memasukkan Darcy’s law secara explicit (dengan konstanta satuan lapangan $0.00633$):

$q_{right} = \left(\frac{0.00633\,k\,k_{ro}}{\mu_o B_o}\right)\left(\frac{p_{i+1}-p_i}{\Delta x}\right)(\Delta y\,h)$

yang dapat ditata ulang menjadi:

$q_{right} = \left(\frac{0.00633\,kh\Delta y}{\Delta x}\right)\left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_o (p_{i+1}-p_i)$

Bentuk kedua ini memisahkan dua kelompok suku: satu bergantung geometri gridblock ($k$, $h$, $\Delta y$, $\Delta x$), satu lagi bergantung sifat fluida/batuan ($k_r$, $B$, $\mu$) — pemisahan yang menjadi dasar definisi transmissibility dan mobility di halaman berikutnya.

Dua kelompok suku dari halaman sebelumnya diberi nama masing-masing:

Transmissibility, $T = kA/L$ — pada batas timur (E) antara gridblock $i$ dan $i+1$:

$T_{i+1/2} = T_E = \frac{0.00633\,kh\Delta y}{\Delta x}$

Mobility, $k_r/(\mu B)$ — dievaluasi di batas antar-blok:

$M_{i+1/2} = \left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_{o\,i+1/2} = \left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_{oE}$

Sifat fluida pada batas antar-blok dihitung sebagai rata-rata dari kedua blok tetangga:

$(B_o)_E = \frac{B_{o\,i}+B_{o\,i+1}}{2} \qquad (\mu_o)_E = \frac{\mu_{o\,i}+\mu_{o\,i+1}}{2} \qquad (k_{ro})_E = \text{upstream } k_{ro}$

Diagram di samping menunjukkan notasi arah mata angin: gridblock pusat dikelilingi tetangga N (utara), S (selatan), E (timur), W (barat), dengan batas-batasnya diberi label $i\pm1/2$ dan $j\pm1/2$ — notasi yang digunakan konsisten di seluruh sisa modul ini. Perlakuan khusus $(k_{ro})_E = \text{upstream}$ (bukan rata-rata) adalah aturan penting: relative permeability diambil dari blok hulu (arah datangnya aliran), bukan dirata-ratakan seperti $B_o$ dan $\mu_o$.

Untuk menyederhanakan notasi lebih jauh, transmissibility dan mobility digabung menjadi satu suku tunggal $a_{oE}$ (mobility × transmissibility):

$a_{oE} = \left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_{oE} T_E$

Suku gabungan $a_{oE}$ ini adalah koefisien konduktansi alir antara gridblock $i$ dan tetangga timurnya ($E$) — menggabungkan seluruh informasi geometri (lewat $T_E$) dan sifat fluida/batuan (lewat mobility) ke dalam satu angka. Notasi $a$ dengan subskrip arah ($a_{oE}$, $a_{oW}$, dst.) inilah yang digunakan di seluruh persamaan diskritisasi akhir pada halaman-halaman berikutnya.

Dengan notasi $a_{oE}$ (dan padanannya di arah lain), persamaan mass balance akhir untuk 1-D:

$a_{oE}(p_{i+1}-p_i) + a_{oW}(p_{i-1}-p_i) = \frac{1}{\Delta t}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n+1} - \left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n}\right]$

Untuk 2-D, tinggal menambahkan dua suku lagi (arah selatan S dan utara N):

$a_{oE}(p_{i+1}-p_{ij}) + a_{oW}(p_{i-1}-p_{ij}) + a_{oS}(p_{j+1}-p_{ij}) + a_{oN}(p_{j-1}-p_{ij}) = \frac{1}{\Delta t}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n+1} - \left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n}\right]$

Polanya jelas: setiap dimensi tambahan cukup menambahkan sepasang suku $a(\ldots)$ baru di ruas kiri, sementara ruas kanan (suku akumulasi) tetap sama persis.

Melanjutkan pola dari halaman sebelumnya, untuk 3-D ditambahkan sepasang suku lagi (arah bawah B/bottom dan atas T/top), sehingga seluruh enam tetangga (E, W, S, N, B, T) muncul di ruas kiri:

$a_{oE}(p_{i+1}-p_{ijk}) + a_{oW}(p_{i-1}-p_{ijk}) + a_{oS}(p_{j+1}-p_{ijk}) + a_{oN}(p_{j-1}-p_{ijk}) + a_{oB}(p_{k+1}-p_{ijk}) + a_{oT}(p_{k-1}-p_{ijk})$

$= \frac{1}{\Delta t}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n+1} - \left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n}\right]$

Ini adalah bentuk paling umum dari persamaan diskrit oil material balance: enam suku transmissibility-mobility di ruas kiri (satu untuk tiap tetangga dalam ruang 3D), disamakan dengan satu suku akumulasi waktu di ruas kanan.

Persamaan mass balance 3D yang panjang di halaman sebelumnya dapat dipadatkan lebih jauh menggunakan operator selisih (difference operator) $\Delta$:

$\Delta a_o \Delta p = \frac{1}{\Delta t}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n+1} - \left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n}\right]$

Notasi $\Delta a_o \Delta p$ ini adalah singkatan kompak untuk seluruh penjumlahan enam suku $a_{oE}(p_{i+1}-p_{ijk}) + a_{oW}(\ldots) + \ldots$ di halaman kesebelas — mirip dengan bagaimana operator Laplacian $\nabla^2$ memadatkan penjumlahan turunan kedua ke segala arah pada bentuk kontinu (Modul 2). Notasi inilah yang lazim digunakan dalam literatur reservoir simulation untuk menulis persamaan diskrit secara ringkas tanpa harus menuliskan keenam suku tetangga setiap kali.

Sampai sini, formasi diasumsikan homogen. Halaman ini melonggarkan asumsi tersebut: dua gridblock bertetangga ($i$ dan $i+1$) memiliki permeabilitas dan tebal berbeda ($k_i$, $h_i$ vs. $k_{i+1}$, $h_{i+1}$), masing-masing dengan lebar setengah-blok $\Delta x_i/2$ dan $\Delta x_{i+1}/2$ dari batas tengah.

Setiap paruh blok memiliki nilai transmissibility tersendiri yang dihitung menggunakan jarak setengah blok:

$T_1 = 0.00633\,\frac{k_i h_i \Delta y}{\Delta x_i/2} \qquad T_2 = 0.00633\,\frac{k_{i+1}h_{i+1}\Delta y}{\Delta x_{i+1}/2}$

Laju alir $q$ yang sama harus melewati kedua paruh-blok tersebut secara berurutan (seri), masing-masing menghasilkan penurunan tekanan parsial menuju titik batas $p_{i+1/2}$:

$q = \left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_{oE} T_1(p_{i+1/2}-p_i) = \left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_{oE} T_2(p_{i+1}-p_{i+1/2}) = \left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_{oE} T_E(p_{i+1}-p_i)$

Tiga bentuk ini identik nilainya (sama-sama $q$), namun menggunakan referensi tekanan berbeda — inilah yang memaksa munculnya satu transmissibility gabungan $T_E$ yang menggantikan $T_1$ dan $T_2$ terpisah, diturunkan di halaman berikutnya.

Halaman penutup modul ini menurunkan bentuk transmissibility ekivalen untuk dua paruh-blok yang tersambung seri dari halaman sebelumnya.

Karena penurunan tekanan total adalah jumlah dua penurunan parsial:

$p_{i+1}-p_i = (p_{i+1/2}-p_i) + (p_{i+1}-p_{i+1/2})$

dan masing-masing suku di ruas kanan dapat ditulis sebagai $q/[(k_r/B\mu)_{oE}\,T_1]$ dan $q/[(k_r/B\mu)_{oE}\,T_2]$, maka:

$q\left(\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}\right)\Big/\left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_{oE} = q\left(\frac{T_1+T_2}{T_1 T_2}\right)\Big/\left(\frac{k_r}{B\mu}\right)_{oE}$

Ini adalah rumus kombinasi resistansi seri yang khas (analog rangkaian listrik: dua hambatan seri berbanding terbalik dijumlahkan) — transmissibility gabungan $T_E$ untuk batas heterogen antara dua gridblock dengan sifat batuan berbeda dihitung dari $T_1$ dan $T_2$ dengan cara yang sama seperti dua resistor tersambung seri, bukan sekadar dirata-ratakan langsung. Ini menutup seluruh alur modul: dari mass balance dasar, transmissibility-mobility homogen, hingga koreksi transmissibility untuk formasi heterogen — fondasi yang langsung digunakan dalam pembangunan matriks Grid Model pada modul berikutnya.