Modul 4: Numerical Formulation — Continuous Model

Halaman judul modul ini menandai peralihan penting dalam mata kuliah: dari Modul 3 yang menurunkan persamaan aliran fluida secara analitik, ke pendekatan numerik yang benar-benar digunakan simulator reservoir sungguhan.

Modul ini terbagi menjadi dua bagian besar, sesuai urutan halaman-halaman berikutnya: pertama, tiga gaya alami yang bekerja pada aliran fluida di reservoir (viskos, gravitasi, kapiler); kedua, Taylor series dan skema finite difference (finite difference) sebagai dasar matematis untuk mendekati solusi persamaan diferensial secara numerik.

Halaman ini menyatakan bahwa secara alami, ada tiga gaya yang bekerja pada aliran fluida di reservoir:

$\text{Viscous Force} = \frac{\mu}{0.00633\,k}\,u \quad [\text{psi/ft}]$

$\text{Gravity Force} = \frac{\Delta\rho}{144} \quad [\text{psi/ft}]$

$\text{Capillary Force} = \nabla P_c = \frac{dP_c}{dS}\,\nabla S \quad [\text{psi/ft}]$

Gaya viskos berasal dari gesekan fluida mengalir lewat pori batuan (bergantung viskositas $\mu$ dan permeabilitas $k$). Gaya gravitasi muncul dari perbedaan densitas antar fluida ($\Delta\rho$), penyebab minyak, air, dan gas cenderung memisah secara vertikal. Gaya kapiler muncul dari gradien saturasi ($\nabla S$), terkait tegangan permukaan antar fluida yang tidak saling campur. Halaman berikutnya menyelidiki lebih lanjut kapan masing-masing gaya ini bernilai nol.

Melanjutkan tiga gaya di halaman sebelumnya, halaman ini menyelidiki kondisi khusus di mana masing-masing gaya bernilai nol:

1. Jika tidak ada aliran (no flow), maka gaya viskos = 0.
2. Jika tidak ada perbedaan densitas (misalnya fluida satu fasa), maka gaya gravitasi = 0.
3. Jika tidak ada gradien saturasi (misalnya fluida satu fasa), maka gaya kapiler = 0.

Halaman ini juga memperkenalkan Gravity Number: rasio antara gaya gravitasi dan gaya viskos. Angka ini berguna untuk menilai kapan efek gravitasi (misalnya segregasi gas-minyak, gas naik ke atas dan minyak turun ke bawah) menjadi signifikan dibandingkan dorongan tekanan yang menggerakkan aliran.

Halaman pembatas ini menandai dimulainya bagian kedua modul: pendekatan finite difference (finite difference) secara kontinu.

“Kontinu” di sini merujuk pada titik awal penurunannya: dimulai dari partial differential equation (PDE) yang berlaku kontinu di setiap titik ruang dan waktu, baru kemudian didiskritisasi menjadi selisih antar titik grid. Ini berbeda dengan pendekatan “diskrit” yang akan dibahas di Modul 5, yang langsung menulis mass balance per grid block tanpa pernah menuliskan PDE. Halaman berikutnya menjawab pertanyaan mendasar sebelum masuk ke tekniknya: mengapa pendekatan numerik ini dibutuhkan sama sekali?

Halaman ini menjawab pertanyaan mendasar: mengapa pendekatan numerik dibutuhkan, mengapa tidak cukup analytical solution seperti di Modul 3? Tiga alasan diberikan:

• Tidak mungkin mengembangkan analytical solution untuk banyak masalah (not possible to develop analytical solutions for many problems).
• Heterogenitas dan bentuk reservoir yang tidak beraturan (heterogeneity and irregular shapes of reservoirs).
• Sifat nonlinier dari persamaan-persamaannya, karena sifat fluida berubah terhadap tekanan (the nonlinearity of the equations, properties changing with pressure).

Ketiga alasan ini menjelaskan mengapa simulator reservoir sungguhan tidak pernah menggunakan rumus analitik langsung, melainkan mendekati solusinya secara numerik, titik demi titik. Halaman berikutnya mulai membangun alat matematika untuk melakukan itu: Taylor series.

Taylor Series adalah dasar matematis dari seluruh skema finite difference yang akan dibahas selanjutnya:

$p(x+\Delta x) = p(x) + \Delta x\,p'(x) + \frac{\Delta x^2}{2!}p''(x) + \frac{\Delta x^3}{3!}p'''(x) + \dots + \frac{\Delta x^n}{n!}p^n(x) + \dots$

dengan $p^n$ adalah turunan ke-$n$ dari $p$. Ini adalah deret tak hingga yang secara teori eksak untuk jumlah suku tak hingga; apabila deret ini dipotong setelah $n$ suku, muncul truncation error (truncation error): suku-suku sisa yang tidak diikutsertakan.

Halaman ini juga menuliskan dua versi deret ini untuk titik grid tetangga, $p_{i+1}$ (maju) dan $p_{i-1}$ (mundur):

$p_{i+1} = p_i + \Delta x\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{(\Delta x)^2}{2!}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{(\Delta x)^3}{3!}\frac{\partial^3 p}{\partial x^3} + \frac{(\Delta x)^4}{4!}\frac{\partial^4 p}{\partial x^4} + \cdots$

$p_{i-1} = p_i - \Delta x\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{(\Delta x)^2}{2!}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{(\Delta x)^3}{3!}\frac{\partial^3 p}{\partial x^3} + \frac{(\Delta x)^4}{4!}\frac{\partial^4 p}{\partial x^4} - \cdots$

Kedua bentuk ini, yang akan dikombinasikan di halaman berikutnya, menjadi dasar untuk mendekati turunan $p$ hanya dari nilai-nilai diskret di titik grid yang berdekatan.

Dari kombinasi kedua bentuk Taylor series di halaman sebelumnya, tiga skema pendekatan turunan berikut diperoleh:

Forward difference (forward difference): $\frac{\partial p}{\partial x} \approx \frac{p_{i+1}-p_i}{\Delta x} + O(\Delta x)$

Backward difference (backward difference): $\frac{\partial p}{\partial x} \approx \frac{p_i-p_{i-1}}{\Delta x} + O(\Delta x)$

Central difference (central difference, untuk turunan kedua): $\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \approx \frac{p_{i-1}-2p_i+p_{i+1}}{(\Delta x)^2} + O(\Delta x^2)$

Perhatikan notasi $O(\Delta x)$ dan $O(\Delta x^2)$: ini menunjukkan orde truncation error skema tersebut. Forward dan backward difference berorde pertama (galat mengecil linear seiring $\Delta x$ diperkecil), sedangkan central difference untuk turunan kedua berorde dua (galat mengecil kuadratik), jauh lebih akurat untuk jumlah titik grid yang sama.

Halaman ini merangkum ketiga skema dari halaman sebelumnya dalam bentuk koefisien per titik grid, cara yang lebih praktis untuk melihat titik mana saja yang dilibatkan tiap skema:

Skema	$p_{i-1}$	$p_i$	$p_{i+1}$	Orde galat
Forward, $\Delta x\,p'(x)$		$-1$	$1$	$O(\Delta x)$
Forward, $(\Delta x)^2 p''(x)$		$1$	$-2$	$1$
Backward, $\Delta x\,p'(x)$	$-1$	$1$		$O(\Delta x)$
Backward, $(\Delta x)^2 p''(x)$	$1$	$-2$	$1$
Central, $2\Delta x\,p'(x)$	$-1$	$0$	$1$	$O(\Delta x)^2$
Central, $(\Delta x)^2 p''(x)$	$1$	$-2$	$1$

Cara membaca tabel ini: setiap baris menunjukkan bobot yang dikalikan ke nilai $p$ di titik grid tersebut, dijumlahkan, lalu dibagi $\Delta x$ atau $(\Delta x)^2$ yang sesuai, untuk mendapatkan pendekatan turunan. Bentuk tabel koefisien seperti ini akan lebih mudah diperluas ke skema orde tinggi di halaman berikutnya, yang melibatkan lebih banyak titik grid di kedua sisi.

Halaman penutup ini menunjukkan bagaimana akurasi skema finite difference dapat ditingkatkan dengan melibatkan lebih banyak titik grid di kedua sisi ($p_{i-3}$ sampai $p_{i+3}$):

Skema	Titik yang dilibatkan	Orde galat
Forward, $2\Delta x\,p'(x)$	$p_i, p_{i+1}, p_{i+2}$ (koefisien $-3,4,-1$)	$O(\Delta x)^2$
Forward, $(\Delta x)^2 p''(x)$	$p_i, p_{i+1}, p_{i+2}, p_{i+3}$ (koefisien $2,-5,4,-1$)
Backward, $2\Delta x\,p'(x)$	$p_{i-2}, p_{i-1}, p_i$ (koefisien $1,-4,3$)	$O(\Delta x)^2$
Backward, $(\Delta x)^2 p''(x)$	$p_{i-3}, p_{i-2}, p_{i-1}, p_i$ (koefisien $-1,4,-5,2$)
Central, $12\Delta x\,p'(x)$	$p_{i-2}$ sampai $p_{i+2}$ (koefisien $1,-8,0,8,-1$)	$O(\Delta x)^4$
Central, $12(\Delta x)^2 p''(x)$	$p_{i-2}$ sampai $p_{i+2}$ (koefisien $-1,16,-30,16,-1$)

Bandingkan dengan tabel orde standar di halaman sebelumnya: forward dan backward difference naik dari $O(\Delta x)$ menjadi $O(\Delta x)^2$, dan central difference untuk turunan kedua naik dari $O(\Delta x)^2$ menjadi $O(\Delta x)^4$. Harganya, lebih banyak titik dan koefisien yang harus dihitung, trade-off klasik antara akurasi dan kompleksitas komputasi yang akan terus dijumpai dalam praktik rekayasa reservoir.

Dengan ini, fondasi skema finite difference pendekatan kontinu selesai dibahas. Modul 5 menunjukkan cara pandang yang berbeda untuk sampai ke persamaan aljabar yang sama: langsung dari mass balance per grid block, tanpa melalui Taylor series.