Modul 3: Reservoir Fluid-Flow Models

Halaman pembuka TM-6011 - Modul 3: Model Aliran Fluida Dalam Reservoir, bagian dari rangkaian Advanced Reservoir Simulation.

Modul ini membahas berbagai bentuk persamaan aliran fluida (fluid flow equation) berbasis Darcy’s law — mulai dari aliran linier fluida tak-termampatkan, sedikit termampatkan, dan gas, hingga aliran radial dan aliran multifasa. Modul 2 sebelumnya sudah menurunkan diffusivity equation secara matematis-umum (notasi vector); modul ini melengkapinya dengan bentuk-bentuk praktis siap menggunakan beserta satuan lapangan (field units) yang lazim digunakan di industri perminyakan.

Halaman judul bagian: “Reservoir simulation — Fluid Flow Equation (Darcy)”.

Ini menandai dimulainya pembahasan inti modul: bagaimana Darcy’s law digunakan untuk membangun persamaan aliran fluida dalam berbagai skenario geometri (linier, radial) dan jenis fluida (tak-termampatkan, sedikit termampatkan, gas).

Halaman ini menjelaskan kerangka umum persamaan aliran fluida (fluid flow equations) dalam media berpori:

• Tujuannya adalah mendeskripsikan aliran dalam media berpori (porous media).
• Bentuk persamaan aliran bergantung pada:
  • Jenis fluida (fluid type)
  • Rezim/tipe aliran (flow regime/flow type)
  • dan faktor-faktor lain
• Biasanya merupakan kombinasi dari tiga bahan:
  • Konservasi massa (conservation of mass)
  • Persamaan aliran dalam media berpori (Flow Eq. in porous media / Darcy)
  • Persamaan keadaan (EOS — Equation of State)

Kerangka tiga-bahan ini identik dengan yang sudah dibahas di Modul 2 (konservasi massa + Darcy + EOS), namun di modul ini fokusnya bergeser ke penurunan bentuk-bentuk praktis untuk tiap kombinasi geometri aliran dan jenis fluida.

Sebelum menurunkan bentuk-bentuk persamaan aliran, halaman ini menetapkan asumsi-asumsi dasar yang berlaku di balik Darcy’s law klasik:

• Laminar (viscous flow) — aliran mulus, tanpa turbulensi.
• Steady-state — tekanan di setiap titik reservoir tidak berubah terhadap waktu.
• Incompressible — fluida tak-termampatkan.
• Homogeneous formation — formasi seragam (sifat batuan sama di semua titik).

Keempat asumsi ini adalah kondisi ideal yang akan dilonggarkan satu per satu di halaman-halaman berikutnya: mula-mula slightly compressible fluid, lalu fluida gas yang sangat termampatkan, dan akhirnya aliran unsteady-state.

Halaman ini menurunkan bentuk paling dasar: aliran linier fluida tak-termampatkan, arah horizontal, menggunakan geometri balok sederhana (panjang $L$, luas penampang $A$, tekanan $p_1$ di ujung masuk dan $p_2$ di ujung keluar).

Integrasi Darcy’s law sepanjang $L$:

$\frac{q}{A}\int_{0}^{L} dx = -\frac{k}{\mu}\int_{p_1}^{p_2} dp$

menghasilkan bentuk tertutup:

$q = \frac{kA(p_1-p_2)}{\mu L}$

Dalam satuan lapangan (field units) yang lazim digunakan (bbl/day, md, psia, cp, ft), muncul konstanta konversi $0.001127$:

$q = \frac{0.001127\,kA(p_1-p_2)}{\mu L}$

dengan $q$ = laju alir (bbl/day), $k$ = permeabilitas absolut (md), $p$ = tekanan (psia), $\mu$ = viskositas (cp), $L$ = jarak (ft), $A$ = luas penampang (ft²).

Halaman ini memberikan data contoh soal untuk diterapkan pada rumus aliran linier di halaman sebelumnya:

• $L = 1000$ ft
• $h = 20$ ft
• $w = 300$ ft
• $k = 100$ md
• Porositas $= 15\%$
• $\mu = 2$ cp
• $\Delta p = 20$ psi

Data ini melengkapi rumus $q = \dfrac{0.001127\,kA(p_1-p_2)}{\mu L}$ dari halaman sebelumnya, dengan $A = h \times w$ (luas penampang aliran horizontal) — nilai porositas disertakan sebagai data tambahan, relevan bila soal dikembangkan lebih lanjut untuk menghitung volume pori atau laju alir per satuan waktu di kondisi sedikit termampatkan.

Untuk aliran linier yang tidak horizontal (miring atau vertikal), gravitasi ikut berperan, sehingga tekanan $p$ diganti dengan potensial alir $\Phi$:

$q = \frac{0.001127\,kA(\Phi_1-\Phi_2)}{\mu L}$

Aturan arah aliran: jika $(\Phi_1-\Phi_2) > 0$, aliran mengalir dari titik 1 ke titik 2.

Potensial di setiap titik $i$ didefinisikan sebagai:

$\Phi_i = p_i + \left(\frac{\rho}{144}\right)\Delta z_i$

di mana suku kedua adalah kontribusi hidrostatik akibat perbedaan ketinggian $\Delta z_i$ dan densitas fluida $\rho$ (konstanta 144 mengonversi satuan lb/ft² ke psi). Ini adalah generalisasi dari rumus horizontal di halaman kelima: saat $\Delta z_i = 0$ (horizontal), $\Phi_i$ kembali menjadi $p_i$ biasa.

Untuk fluida sedikit termampatkan (slightly compressible), volume dan laju alir bergantung linier pada tekanan relatif terhadap kondisi referensi:

$V = V_{ref}\left[1+c(p_{ref}-p)\right] \qquad q = q_{ref}\left[1+c(p_{ref}-p)\right]$

Substitusi ke Darcy’s law dan integrasi:

$\frac{q}{A} = \frac{q_{ref}\left[1+c(p_{ref}-p)\right]}{A} = -0.001127\,\frac{k}{\mu}\frac{dp}{dx}$

$\frac{q_{ref}}{A}\int_{0}^{L}dx = -0.001127\,\frac{k}{\mu}\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{1+c(p_{ref}-p)}$

menghasilkan bentuk logaritmik (bukan lagi linier terhadap $\Delta p$ seperti fluida tak-termampatkan):

$q_{ref} = \left[\frac{0.001127\,kA}{\mu c L}\right]\ln\left[\frac{1+c(p_{ref}-p_2)}{1+c(p_{ref}-p_1)}\right]$

Munculnya fungsi logaritma ini adalah konsekuensi langsung dari compressibility $c$ yang kecil namun tidak nol — berbeda dari rumus horizontal sederhana di halaman kelima yang berlaku hanya untuk fluida benar-benar tak-termampatkan.

Untuk gas (fluida sangat termampatkan), titik tolaknya adalah persamaan gas real:

$n = \frac{pV}{zRT}$

Menyamakan jumlah mol pada kondisi aktual dan kondisi standar (subscript $sc$):

$\frac{pV}{zT} = \frac{p_{sc}V_{sc}}{T_{sc}}$

Mengonversi volume menjadi laju alir ($V \to q$, dengan faktor $5.615$ ft³/bbl):

$\frac{5.615\,pq}{zT} = \frac{p_{sc}Q_{sc}}{T_{sc}}$

sehingga laju alir gas pada tekanan $p$ (dalam bbl/day) dapat dinyatakan dalam laju alir standar $Q_{sc}$ (scf/day):

$\left(\frac{p_{sc}}{T_{sc}}\right)\left(\frac{zT}{p}\right)\left(\frac{Q_{sc}}{5.615}\right) = q$

dengan $z$ = faktor compressibility gas, $T_{sc}$, $p_{sc}$ = temperatur dan tekanan standar (°R dan psia). Halaman berikutnya mensubstitusi $q$ ini ke Darcy’s law untuk menurunkan bentuk akhir laju alir gas.

Melanjutkan halaman sebelumnya, laju alir $q$ dalam bentuk $Q_{sc}$ disubstitusikan ke Darcy’s law:

$\frac{q}{A} = \left(\frac{p_{sc}}{T_{sc}}\right)\left(\frac{zT}{p}\right)\left(\frac{Q_{sc}}{5.615}\right)\left(\frac{1}{A}\right) = -0.001127\,\frac{k}{\mu}\frac{dp}{dx}$

Memisahkan variabel dan mengintegrasikan sepanjang $L$ di ruas kiri, dan dari $p_1$ ke $p_2$ di ruas kanan (dengan $p\,dp$ karena suku $p/z\mu_g$ tak dapat dipisah sesederhana kasus cairan):

$\left[\frac{q_{sc}\,p_{sc}\,T}{0.006328\,k\,T_{sc}A}\right]\int_{0}^{L}dx = -\int_{p_1}^{p_2}\frac{p}{z\mu_g}\,dp$

menghasilkan bentuk kuadratik dalam tekanan ($p_1^2 - p_2^2$), ciri khas aliran gas:

$Q_{sc} = \frac{0.003164\,T_{sc}\,A\,k\,(p_1^2-p_2^2)}{p_{sc}\,T\,L\,\overline{z\mu_g}}$

Jika kondisi standar dipatok pada $T_{sc}=520\,°R$ dan $p_{sc}=14.7$ psia, konstanta-konstanta ini menyederhana menjadi bentuk siap menggunakan:

$Q_{sc} = \frac{0.111924\,A\,k\,(p_1^2-p_2^2)}{T\,L\,\overline{z\mu_g}}$

Kemunculan $p^2$ (bukan $p$) inilah yang membedakan aliran gas dari aliran slightly compressible liquid di halaman kedelapan.

Beralih dari geometri linier ke geometri radial — model paling representatif untuk aliran fluida menuju sumur, dengan $r_w$ = jari-jari sumur, $r_e$ = jari-jari drainase, $p_{wf}$ = tekanan alir dasar sumur, $p_e$ = tekanan di batas luar.

Kecepatan Darcy pada luas silinder $A_r = 2\pi r h$:

$v = \frac{q}{A_r} = \frac{q}{2\pi r h} = 0.001127\,\frac{k}{\mu}\frac{dp}{dr}$

Mengintegrasikan dari $r_w$ ke $r_e$ menghasilkan rumus radial flow klasik (bentuk logaritmik $\ln(r_e/r_w)$, bukan linier seperti geometri balok):

$Q_o = \frac{0.00708\,k\,h\,(p_e-p_w)}{\mu_o B_o \ln(r_e/r_w)}$

Sebaliknya, profil tekanan pada jari-jari $r$ mana pun dapat dihitung dari $p_{wf}$:

$p = p_{wf} + \left[\frac{Q_o B_o \mu_o}{0.00708\,k h}\right]\ln\left(\frac{r}{r_w}\right)$

Kehadiran formation volume factor $B_o$ di sini adalah konsekuensi konversi laju alir dari kondisi reservoir ke kondisi permukaan, sesuatu yang tidak muncul pada rumus linier sebelumnya.

Halaman ini menunjukkan grafik profil tekanan terhadap jari-jari $r$ (dari $r_w$ ke $r_e$): tekanan naik cepat di dekat sumur lalu melandai menuju batas luar — bentuk kurva logaritmik khas aliran radial.

Titik penting pada kurva ini ditandai pada $r = 0.61\,r_e$ — radius di mana tekanan rata-rata reservoir ($p_r$, tekanan volumetrik rata-rata seluruh drainase area) kira-kira sama dengan tekanan lokal pada jari-jari tersebut.

Menggunakan $p_r$ (bukan $p_e$) sebagai referensi, rumus radial flow dari halaman sebelumnya disesuaikan dengan konstanta koreksi $-0.5$:

$Q_o = \frac{0.00708\,k\,h\,(p_r-p_{wf})}{\mu_o B_o\left[\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_w}\right)-0.5\right]}$

Bentuk ini lebih praktis digunakan di lapangan karena $p_r$ (tekanan rata-rata) jauh lebih mudah diukur/diestimasi dibanding $p_e$ (tekanan tepat di batas luar drainase, yang sulit diakses langsung).

Sama seperti pada geometri linier, aliran radial fluida sedikit termampatkan menggunakan laju alir yang bergantung tekanan referensi, disubstitusikan ke Darcy’s law dalam koordinat radial:

Basic Equation:

$\frac{q}{A_r} = \frac{q_{ref}\left[1+c(p_{ref}-p)\right]}{2\pi rh} = 0.001127\,\frac{k}{\mu}\frac{dp}{dr}$

Homework (No. 1): Turunkan bentuk lengkap persamaan untuk Radial Flow of Slightly Compressible Fluids — yaitu selesaikan integrasi persamaan dasar di atas dari $r_w$ ke $r_e$ (dan $p_1$ ke $p_2$), mengikuti pola yang sama seperti penurunan aliran linier slightly compressible fluid di halaman kedelapan (yang menghasilkan bentuk logaritmik $\ln[\ldots]$), tetapi kini dengan variabel radial $r$ menggantikan $x$.

Untuk gas dalam geometri radial, laju alir Darcy:

$q_{gr} = \frac{0.001127\,(2\pi rh)\,k}{\mu_g}\frac{dp}{dr}$

Menata ulang dan mengganti $q_{gr}$ dengan laju alir standar $Q_g$, dengan faktor $0.703$ (kombinasi konstanta konversi satuan lapangan untuk gas):

$\left(\frac{TQ_g}{kh}\right)\frac{dr}{r} = 0.703\left(\frac{2p}{\mu_g z}\right)dp$

Mengintegrasikan menghasilkan bentuk final menggunakan fungsi pseudopressure $\psi = m(p)$ (definisi yang sama persis dengan yang diturunkan di Modul 2, halaman 12-13, sebagai pendekatan linearisasi persamaan gas):

$Q_g = \frac{0.703\,kh\,(\psi_e - \psi_w)}{T\left(\ln\dfrac{r_e}{r_w}\right)} \qquad\text{dengan}\qquad m(p) = \psi = \int_{0}^{p}\left(\frac{2p}{\mu_g z}\right)dp$

Pemakaian $\psi$ di sini menegaskan mengapa pendekatan pseudopressure di Modul 2 penting: ia mengubah persamaan gas yang nonlinier menjadi bentuk radial-flow yang strukturnya identik dengan cairan (bandingkan dengan $Q_o$ di halaman kesebelas).

Sejauh ini semua rumus mengasumsikan satu fase fluida saja. Ketika tiga fase mengalir bersamaan (minyak, air, gas — kondisi umum di reservoir riil), Darcy’s law diterapkan secara terpisah untuk tiap fase, masing-masing dengan permeabilitas efektifnya sendiri ($k_o$, $k_w$, $k_g$) dan viskositasnya sendiri ($\mu_o$, $\mu_w$, $\mu_g$):

$q_o = 0.001127\left(\frac{2\pi rh}{\mu_o}\right)k_o\,\frac{dp}{dr}$

$q_w = 0.001127\left(\frac{2\pi rh}{\mu_w}\right)k_w\,\frac{dp}{dr}$

$q_g = 0.001127\left(\frac{2\pi rh}{\mu_g}\right)k_g\,\frac{dp}{dr}$

Ketiga persamaan ini berbagi bentuk struktural yang sama dengan rumus aliran radial satu-fase di halaman kesebelas, hanya permeabilitas absolut $k$ digantikan permeabilitas efektif $k_o$/$k_w$/$k_g$ masing-masing fase (yang nilainya bergantung pada saturasi fluida, sebagaimana dibahas lebih lanjut di IMPES).

Halaman penutup modul ini beralih dari asumsi steady-state (yang digunakan di seluruh penurunan sebelumnya) menuju kondisi yang lebih realistis: unsteady-state flow, di mana tekanan berubah terhadap waktu.

Homework (No. 3):

1. Apa definisi Unsteady State Flow?
2. Apa macam-macam jenis aliran yang termasuk dalam kategori unsteady state flow?
3. Kondisi seperti apa dalam praktek yang termasuk kondisi steady state, transient, dan pseudo-steady state?

Ketiga pertanyaan ini menjembatani modul ini menuju pembahasan berikutnya: begitu asumsi steady-state dilepas, persamaan aliran harus memasukkan suku turunan waktu $\partial p/\partial t$ secara explicit — persis seperti diffusivity equation penuh yang diturunkan di Modul 2, dan menjadi fondasi bagi skema numerical formulation (finite difference) di Modul 4 dan Modul 5.