IMPES Method

Halaman ini menampilkan bentuk akhir persamaan mass balance untuk ketiga fase, oil, water, dan gas, dalam format finite difference yang siap dihitung. Perhatikan polanya sama persis untuk ketiganya:

$\Delta\!\left(a_o^n \Delta p^{n+1}\right) = \frac{1}{\Delta t}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n+1} - \left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^{n}\right]$

dan bentuk yang sama untuk fase water ($S_w$, $B_w$) dan gas ($S_g$, $B_g$). Ruas kiri adalah jumlah aliran dari blok-blok tetangga (koefisien $a$ dikalikan tekanan pada waktu baru $n+1$), ruas kanan adalah laju perubahan volume fluida tersimpan.

Kotak di bagian atas mendefinisikan koefisien transmissibility-mobility gabungan untuk arah timur (East, disimbolkan $E$):

$a_{oE} = \left(\frac{K_r}{B\mu}\right)_{oE}\left(\frac{0.00633\,k\,h\,\Delta y}{\Delta x}\right)_{E}$

Ini persis konsep transmissibility ($T=kA/L$) dan mobility ($k_r/\mu B$) dari Modul 5, dikalikan menjadi satu koefisien $a$, dievaluasi di batas antar blok arah timur. Modul ini kemudian menjelaskan bagaimana persamaan tiga fase ini digabung menjadi satu persamaan tekanan tunggal.

Halaman ini merangkum urutan kerja metode IMPES menjadi tiga langkah:

1. Calculate coefficients of the pressure equation — menghitung koefisien persamaan tekanan.
2. Calculate solution of the pressure equation implicitly (matrix equation) for $p^{n+1}$ — persamaan tekanan diselesaikan secara implicit lewat sistem matriks.
3. Calculate solution of the saturation equations explicitly for $S_o^{n+1}$, $S_w^{n+1}$, dan $S_g^{n+1}$ — setelah tekanan baru diketahui, saturasi dihitung langsung tanpa perlu menyelesaikan matriks lagi.

Nama “IMPES” (Implicit Pressure, Explicit Saturation) persis menggambarkan urutan ini: langkah 1 dan 2 adalah bagian implicit (tekanan), langkah 3 adalah bagian explicit (saturasi). Halaman-halaman berikutnya menelusuri bagaimana langkah 1 (menyusun koefisien persamaan tekanan) benar-benar dikerjakan, dimulai dari masalah jumlah unknown yang dibahas di halaman berikutnya.

Halaman ini menyatakan masalah inti yang harus diselesaikan metode IMPES: setiap grid block memiliki 4 unknown, yaitu $p^{n+1}$, $S_o^{n+1}$, $S_w^{n+1}$, dan $S_g^{n+1}$.

Untuk menemukan keempat unknown ini, satu persamaan tambahan dibutuhkan per blok:

$S_o^{n+1} + S_w^{n+1} + S_g^{n+1} = 1$

Persamaan ini memastikan volume fluida selalu pas mengisi pore volume yang tersedia, tidak ada ruang kosong yang tersisa atau volume yang berlebih. Bersama tiga persamaan mass balance (satu per fase, dari halaman pertama), syarat penutup inilah yang membuat sistem empat-persamaan-empat-unknown ini dapat diselesaikan.

Halaman ini menyusun ulang ketiga persamaan mass balance dari halaman pertama, kali ini diselesaikan untuk saturasi di ruas kiri, bentuk yang nanti digunakan persis di langkah 3 (explicit):

$S_o^{n+1} = \frac{B_o^{n+1}}{V_p^{n+1}}\left[\left(\frac{V_p S_o}{B_o}\right)^n + \Delta t \cdot \Delta\!\left(a_o^n \Delta p^{n+1}\right)\right]$

dan bentuk yang sama untuk $S_w^{n+1}$ dan $S_g^{n+1}$.

Perhatikan bentuk ini: begitu $p^{n+1}$ sudah diketahui (dari langkah 2, diselesaikan implicit), ruas kanan persamaan ini semuanya sudah berupa nilai yang diketahui, sehingga $S_o^{n+1}$, $S_w^{n+1}$, $S_g^{n+1}$ dapat dihitung langsung, blok demi blok, tanpa perlu menyelesaikan sistem matriks lagi. Inilah wujud konkret dari kata “explicit” pada IMPES.

Ini adalah langkah kunci untuk menyusun persamaan tekanan tunggal (langkah 1 dari halaman kedua): ketiga persamaan saturasi dari halaman sebelumnya dijumlahkan sekaligus, masing-masing dikalikan $B_m^{n+1}$-nya:

$\sum_{m=o,w,g} B_m^{n+1}\,\Delta\!\left(a_m^n \Delta p^{n+1}\right) = \frac{1}{\Delta t}\left[V_p^{n+1} - \sum_{m=o,w,g} B_m^{n+1}\left(\frac{V_p S_m}{B_m}\right)^n\right]$

Karena setiap suku $B_m \cdot S_m^{n+1}$ pada dasarnya berasal dari persamaan yang sudah dikalikan $B_m^{n+1}/V_p^{n+1}$, penjumlahan ini secara otomatis memanfaatkan syarat $S_o^{n+1}+S_w^{n+1}+S_g^{n+1}=1$ dari halaman sebelumnya: saturasi tidak lagi tampil explicit di ruas kanan, hanya $V_p^{n+1}$ saja yang tersisa. Masalahnya, $V_p^{n+1}$ dan $B_m^{n+1}$ masih berupa nilai pada waktu baru yang belum diketahui, dan ini yang diatasi di dua halaman berikutnya.

Halaman ini mengatasi masalah $V_p^{n+1}$ yang belum diketahui dari halaman sebelumnya, menggunakan identitas dasar kalkulus:

$V_p^{n+1} = V_p^{n} + \frac{\Delta V_p}{\Delta p}\left(p_i^{n+1} - p_i^{n}\right)$

dengan chord slope (kemiringan rata-rata antara dua titik):

$\frac{\Delta V_p}{\Delta p} = \frac{V_p^{n+1} - V_p^{n}}{p_i^{n+1} - p_i^{n}}$

Idenya: alih-alih menghitung $V_p^{n+1}$ secara eksak (yang butuh tahu $p^{n+1}$ lebih dulu, sebuah lingkaran), pendekatan ini mengaproksimasi perubahan $V_p$ sebagai fungsi linear dari selisih tekanan $p_i^{n+1}-p_i^n$. Halaman berikutnya menyelesaikan aproksimasi ini menjadi bentuk yang benar-benar dapat dihitung.

Melanjutkan aproksimasi di halaman sebelumnya, chord slope $\Delta V_p/\Delta p$ dituliskan ulang menggunakan compressibility batuan $c_f$:

$V_p^{n+1} = V_p^{n}\left[1 + c_f\left(p_i^{n+1}-p_i^{n}\right)\right] \qquad \text{dengan} \qquad c_f \equiv \frac{1}{\phi}\frac{\Delta\phi}{\Delta p} = \frac{1}{V_p^{n}}\frac{\Delta V_p}{\Delta p}$

Dengan cara yang sama (“likewise”), formation volume factor tiap fase $B_m^{n+1}$ juga didekati menggunakan compressibility fluida $c_m$:

$B_m^{n+1} = B_m^{n}\left[1 - c_m\left(p_i^{n+1}-p_i^{n}\right)\right] \qquad (m=o,w,g)$

Perhatikan tanda minus pada suku $c_m$: apabila tekanan naik, slightly compressible fluid sehingga $B_m$ (volume reservoir dibanding volume standar) mengecil, konsisten dengan sifat fisik compressibility. Dengan kedua aproksimasi ini, semua suku pada waktu baru sudah dapat dinyatakan sebagai fungsi dari $p^{n+1}$ dan $p^{n}$, siap untuk bentuk akhir di halaman berikutnya.

Dengan kedua aproksimasi compressibility dari halaman sebelumnya disubstitusikan, persamaan gabungan akhirnya menjadi persamaan tekanan tunggal yang siap diselesaikan:

$\Delta\!\left(a_t^n \Delta p^{n+1}\right) = \frac{V_p^{n} c_t}{\Delta t}\left(p_i^{n+1} - p_i^{n}\right)$

di mana:

$\Delta a_t = \sum_{m=o,w,g} B_m^{n+1}\,\Delta a_m \qquad\qquad c_t = c_f + \sum_{m=o,w,g} c_m S_m^{n}$

$c_t$ adalah compressibility total sistem: penjumlahan compressibility batuan ($c_f$) dengan compressibility tiap fase fluida ($c_m$), dibobot saturasi fase itu ($S_m^n$). Persamaan ini, satu per grid block, saling terkait lewat koefisien $a_t$ antar blok tetangga, disusun menjadi sistem matriks dan diselesaikan implicit untuk mendapatkan medan tekanan $p^{n+1}$ di seluruh reservoir, tepat seperti langkah 2 yang dijelaskan di halaman kedua modul ini.